O valor de dd x integralx^3^x^4 e^t^2 d t é (a) e^x^6(e^x^8-x^6-1);
(b) 4 x^3 e^x^8;
© 1raiz1-e^x^2;
(d) e^x^2x^2-1;
(e) x^2 e^x^6(4 x e^x^8-x^6-3).

Passo 1

O exercício quer a derivada de F(x)=integralx^3^x^4 e^t^2,dt. O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais com limites dependentes de x, usando a Regra de Leibniz: ddxintegralu(x)^v(x) f(t),dt = f(v(x)),v'(x) - f(u(x)),u'(x).

Passo 2

Identificamos no nosso caso f(t)=e^t^2, o limite inferior u(x)=x^3 e o limite superior v(x)=x^4. Calculamos as derivadas: u'(x)=3x^2 e v'(x)=4x^3.

Passo 3

Aplicamos a Regra de Leibniz substituindo essas expressões:
F'(x)=e^(x^4)^2cdot4x^3 - e^(x^3)^2cdot3x^2 = 4x^3e^x^8 - 3x^2e^x^6

Passo 4

Para deixar em forma mais enxuta, fatoramos x^2e^x^6:
F'(x)=x^2e^x^6l(4x e^x^8 - x^6 - 3r)
Isso coincide com a alternativa (e).

Resposta

x^2 e^x^6(4 x e^x^8-x^6-3)

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