Determine as seguintes integrais:
integralpi / 2^pi sin x sin (cos x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integralpi/2^pi sin x,sin(cos x),dx. O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois temos sin x,dx e uma função de cos x.

Passo 2

Vamos fazer a substituição t=cos x. Então temos
dt = -sin x,dx Longrightarrow sin x,dx = -dt

Passo 3

Precisamos também trocar os limites: quando x=pi/2, t=cos(pi/2)=0; quando x=pi, t=cos(pi)=-1.
Substituindo na integral:
integralpi/2^pi sin x,sin(cos x),dx = integralt=0^t=-1 sin(t),(-dt) = -integral0^-1 sin(t),dt

Passo 4

Invertemos os limites para ficar mais direto:
-integral0^-1 sin(t),dt = integral-1^0 sin(t),dt

Passo 5

Agora integramos sin(t):
integral sin(t),dt = -cos(t)

Passo 6

Logo, avaliando de t=-1 até t=0:
integral-1^0 sin(t),dt = l[-cos(t)r]-1^0 = l(-cos(0)r) - l(-cos(-1)r) = -1 + cos(1)

Resposta

cos(1) - 1

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