Use sếries geométricas para mostrar que
sumk=0^infty(-1)^k x^2 k=11+x^2 se -1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série infinita sumk=0^infty(-1)^kx^2k converge para 1/(1+x^2) quando -1. O conteúdo envolvido é séries infinitas, em particular a série geométrica, e vamos precisar da fórmula de soma dessa série.

Passo 2

A fórmula chave é a soma de uma série geométrica: se |r|<1, então
sumk=0^inftyr^k=11-r

Passo 3

Note que cada termo da nossa soma pode ser escrito como
(-1)^k x^2k=( -x^2 )^k
Então basta identificar r=-x^2 e verificar sua convergência: como -1 temos |x|<1 e portanto
|r|=|-x^2|=x^2<1

Passo 4

Aplicando a fórmula da série geométrica com r=-x^2, obtemos
sumk=0^infty(-1)^k x^2k=sumk=0^inftyr^k=11-r=11-(-x^2)=11+x^2

Resposta

11+x^2

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