Determine quais das seguintes integrais são divergentes:
Escolha uma ou mais:
integral-pi^pi sen^3 2 theta cos 2 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a seguinte integral é divergente:
integral-pi^pi sen^3 2 theta cos 2 theta , dtheta
Aqui estamos lidando com integração no cálculo, especificamente analisando se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Observamos que temos sen^3 2theta multiplicado por cos 2theta. Isso sugere que podemos usar uma substituição onde u está relacionado a sen 2theta.
Vamos definir:
u = sen^4 2theta
Então, vamos derivar u em relação a theta:
dudtheta = 4 sen^3 2theta cos 2theta cdot 2 = 8 sen^3 2theta cos 2theta
Isso nos dá:
sen^3 2theta cos 2theta , dtheta = 18 du

Passo 3

Agora, substituímos na integral original:
integral-pi^pi sen^3 2theta cos 2theta , dtheta = 18 integral-pi^pi du
Mas precisamos ajustar os limites de integração para u. Quando theta = -pi:
u(-pi) = sen^4 (-2pi) = sen^4 0 = 0
E quando theta = pi:
u(pi) = sen^4 (2pi) = sen^4 0 = 0
Então, nossos limites de integração para u são de 0 a 0.

Passo 4

Agora a integral fica:
18 integral0^0 du = 18 times (0 - 0) = 0
Isso significa que a integral convergiu para 0.

Resposta

A integral integral-pi^pi sen^3 2theta cos 2theta , dtheta é convergente e seu valor é 0. Portanto, ela não é divergente.

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