Determine os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hôspital
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende para 0 pela direita:
\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right).
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{função a ser estudada: }\; \frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}.çã
Queremos saber o comportamento dessa expressão quando x fica muito pequeno e positivo ( x\to 0^{+}).

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão colocando em um único quociente (isso facilita ver se é uma indeterminação):
\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}=\frac{e^{x}-1 - x}{x(e^{x}-1)}.
Aqui usei o denominador comum x(e^{x}-1) e calculei o numerador (e^{x}-1) - x.

Passo 3

Agora verificamos o tipo de indeterminação ao aplicar o limite:
\lim_{x\to 0^{+}} \big(e^{x}-1 - x\big)=e^{0}-1-0=0,
\lim_{x\to 0^{+}} x(e^{x}-1)=0\cdot (e^{0}-1)=0.
Portanto a expressão acima é da forma \tfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Quando temos uma indeterminação \tfrac{0}{0} e numerador e denominador são diferenciáveis perto do ponto, podemos aplicar a regra de L’Hôpital: tomar derivadas do numerador e do denominador e calcular o limite do quociente das derivadas.

Passo 4

Aplicamos L’Hôpital uma vez: derivamos numerador e denominador.
Derivada do numerador N(x)=e^{x}-1-x é
N'(x)=e^{x}-1.
Derivada do denominador D(x)=x(e^{x}-1) usa a regra do produto:
D'(x)=(e^{x}-1) + x e^{x}=e^{x}-1 + x e^{x}.
Pelo Teorema de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}-1 - x}{x(e^{x}-1)}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}-1}{e^{x}-1 + x e^{x}}.
Verificamos novamente o valor quando x\to 0: o numerador e^{x}-1\to 0 e o denominador e^{x}-1 + x e^{x}\to 0. Ainda temos indeterminação \tfrac{0}{0}, então aplicamos L’Hôpital outra vez.

Passo 5

Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez: derivamos de novo numerador e denominador.
Derivada do novo numerador e^{x}-1 é
\big(e^{x}-1\big)'=e^{x}.
Derivada do novo denominador e^{x}-1 + x e^{x} é
\big(e^{x}-1 + x e^{x}\big)'=e^{x} + (e^{x} + x e^{x})=2e^{x} + x e^{x}.
Assim o limite vira
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}}{2e^{x}+x e^{x}}.
Fatorando e^{x} no numerador e denominador:
\frac{e^{x}}{2e^{x}+x e^{x}}=\frac{e^{x}}{e^{x}(2+x)}=\frac{1}{2+x}.

Passo 6

Agora basta tomar o limite de \tfrac{1}{2+x} quando x\to 0^{+}:
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}.
Como checagem intuitiva (opcional): usando a série de Taylor e^{x}=1+x+\tfrac{x^{2}}{2}+\cdots, o numerador e^{x}-1-x\approx \tfrac{x^{2}}{2} e o denominador x(e^{x}-1)\approx x\cdot x = x^{2}, o quociente aproxima-se de \tfrac{1/2}{1}=1/2, concordando com o resultado acima.

Passo 7

Resumo da estratégia que usei (útil para a prova): transformar em uma única fração para identificar a indeterminação, aplicar L’Hôpital enquanto a forma for \tfrac{0}{0} (derivando numerador e denominador) até chegar a uma expressão cujo limite seja direto. Isso evita manipulações complicadas e funciona bem quando as funções são exponenciais, polinomiais, logaritmos, etc.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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