Determine os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hôspital
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende para
pela direita:
Informações relevantes que o enunciado dá:
Queremos saber o comportamento dessa expressão quando
fica muito pequeno e positivo (
).
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão colocando em um único quociente (isso facilita ver se é uma indeterminação):
Aqui usei o denominador comum
e calculei o numerador
.
Passo 3
Agora verificamos o tipo de indeterminação ao aplicar o limite:
Portanto a expressão acima é da forma
, que é uma indeterminação. Quando temos uma indeterminação
e numerador e denominador são diferenciáveis perto do ponto, podemos aplicar a regra de L’Hôpital: tomar derivadas do numerador e do denominador e calcular o limite do quociente das derivadas.
Passo 4
Aplicamos L’Hôpital uma vez: derivamos numerador e denominador.
Derivada do numerador é
Derivada do numerador
Derivada do denominador
usa a regra do produto:
Pelo Teorema de L’Hôpital,
Verificamos novamente o valor quando
: o numerador
e o denominador
. Ainda temos indeterminação
, então aplicamos L’Hôpital outra vez.
Passo 5
Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez: derivamos de novo numerador e denominador.
Derivada do novo numerador é
Derivada do novo numerador
Derivada do novo denominador
é
Assim o limite vira
Fatorando
no numerador e denominador:
Passo 6
Agora basta tomar o limite de
quando
:
Como checagem intuitiva (opcional): usando a série de Taylor
, o numerador
e o denominador
, o quociente aproxima-se de
, concordando com o resultado acima.
Passo 7
Resumo da estratégia que usei (útil para a prova): transformar em uma única fração para identificar a indeterminação, aplicar L’Hôpital enquanto a forma for
(derivando numerador e denominador) até chegar a uma expressão cujo limite seja direto. Isso evita manipulações complicadas e funciona bem quando as funções são exponenciais, polinomiais, logaritmos, etc.