Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine se a integral
é convergente ou divergente, e que eu calcule seu valor caso seja convergente. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
. - Observação óbvia do enunciado: o ponto
pertence ao intervalo . Esse ponto é problemático porque faz o denominador igual a zero, ou seja, há uma descontinuidade (singularidade) do integrando dentro do intervalo de integração.
Passo 2
Antes de mexer nas contas, vamos lembrar como tratamos integrais impróprias com singularidade interna (quando há um ponto onde a função não está definida dentro do intervalo). A definição prática é esta: se
é a singularidade (aqui
), então interpretamos
como a soma de duas integrais propriamente ditas tomadas por limites:
A integral impropria converge (no sentido usual) somente se ambos os limites existirem e forem finitos. Se qualquer um dos limites divergir (para
ou não existir), então a integral é divergente.
Passo 3
Vamos simplificar o integrando para facilitar a integração. Faço divisão algébrica:
Isso é útil porque integrais de
e de
são familiares. Assim
Passo 4
Antecipo as primitivas (antiderivadas) que vamos usar e explico por que:
- A primitiva de
é , porque a derivada de é . - A primitiva de
é . Aqui aparece valor absoluto porque é a primitiva que funciona tanto para quanto para ; sempre que tivermos .
Portanto, uma primitiva deé
Passo 5
Agora aplico a definição por limites, começando pela parte à esquerda da singularidade:
Defino
Defino
Usando a primitiva calculada,
Note que
, então a segunda parcela é
. Para
temos
. Portanto
Quando
temos
e
. Assim o termo
tende para
, o que faz
Logo a integral da esquerda diverge (vai para
).
Passo 6
Agora a parte à direita da singularidade:
Defino
Defino
Novamente usando a mesma primitiva,
Aqui
e, para
,
. Então
Quando
temos
e
. Então o termo
tende para
. Portanto
A integral da direita diverge (vai para
).
Passo 7
Concluo com a definição: para a integral imprópria original convergir ambos os limites
e
precisariam ser finitos. Aqui
e
. Como pelo menos um (na verdade ambos) divergem, a integral imprópria
é divergente — não existe um valor finito que a represente.
Resposta
Divergente.