Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
\int_{0}^{5} \frac{x}{x-2} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu determine se a integral
\int_{0}^{5} \frac{x}{x-2}\,dx
é convergente ou divergente, e que eu calcule seu valor caso seja convergente. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando é \dfrac{x}{x-2}.
  • O intervalo de integração é [0,5].
  • Observação óbvia do enunciado: o ponto x=2 pertence ao intervalo [0,5]. Esse ponto é problemático porque faz o denominador x-2 igual a zero, ou seja, há uma descontinuidade (singularidade) do integrando dentro do intervalo de integração.

Passo 2

Antes de mexer nas contas, vamos lembrar como tratamos integrais impróprias com singularidade interna (quando há um ponto onde a função não está definida dentro do intervalo). A definição prática é esta: se c é a singularidade (aqui c=2), então interpretamos
\int_{0}^{5} \frac{x}{x-2}\,dx
como a soma de duas integrais propriamente ditas tomadas por limites:
\int_{0}^{5} \frac{x}{x-2}\,dx = \lim_{b\to 2^-}\int_{0}^{b} \frac{x}{x-2}\,dx + \lim_{a\to 2^+}\int_{a}^{5} \frac{x}{x-2}\,dx.
A integral impropria converge (no sentido usual) somente se ambos os limites existirem e forem finitos. Se qualquer um dos limites divergir (para \pm\infty ou não existir), então a integral é divergente.

Passo 3

Vamos simplificar o integrando para facilitar a integração. Faço divisão algébrica:
\frac{x}{x-2}=\frac{x-2+2}{x-2}=1+\frac{2}{x-2}.
Isso é útil porque integrais de 1 e de 1/(x-2) são familiares. Assim
\frac{x}{x-2}=1+\frac{2}{x-2}.

Passo 4

Antecipo as primitivas (antiderivadas) que vamos usar e explico por que:
  • A primitiva de 1 é x, porque a derivada de x é 1.
  • A primitiva de \dfrac{1}{x-2} é \ln|x-2|. Aqui aparece valor absoluto porque \ln|x-2| é a primitiva que funciona tanto para x>2 quanto para x<2; sempre que tivermos \dfrac{d}{dx}\ln|x-2|=\dfrac{1}{x-2}.
    Portanto, uma primitiva de \dfrac{x}{x-2} é
x + 2\ln|x-2|.

Passo 5

Agora aplico a definição por limites, começando pela parte à esquerda da singularidade:
Defino
I_1 = \lim_{b\to 2^-}\int_{0}^{b}\frac{x}{x-2}\,dx.
Usando a primitiva calculada,
\int_{0}^{b}\frac{x}{x-2}\,dx=\bigl[x+2\ln|x-2|\bigr]_{0}^{b} = \bigl(b+2\ln|b-2|\bigr) - \bigl(0+2\ln|0-2|\bigr).
Note que |0-2|=2, então a segunda parcela é 2\ln 2. Para b<2 temos |b-2|=2-b. Portanto
I_1 = \lim_{b\to 2^-}\bigl(b + 2\ln(2-b) - 2\ln 2\bigr).
Quando b\to 2^- temos b\to 2 e \ln(2-b)\to \ln(0^+)= -\infty. Assim o termo 2\ln(2-b) tende para -\infty, o que faz
I_1 = -\infty.
Logo a integral da esquerda diverge (vai para -\infty).

Passo 6

Agora a parte à direita da singularidade:
Defino
I_2 = \lim_{a\to 2^+}\int_{a}^{5}\frac{x}{x-2}\,dx.
Novamente usando a mesma primitiva,
\int_{a}^{5}\frac{x}{x-2}\,dx=\bigl[x+2\ln|x-2|\bigr]_{a}^{5} = \bigl(5+2\ln|5-2|\bigr) - \bigl(a+2\ln|a-2|\bigr).
Aqui |5-2|=3 e, para a>2, |a-2|=a-2. Então
I_2 = \lim_{a\to 2^+}\bigl(5+2\ln 3 - a - 2\ln(a-2)\bigr).
Quando a\to 2^+ temos a\to 2 e \ln(a-2)\to \ln(0^+)=-\infty. Então o termo -2\ln(a-2) tende para +\infty. Portanto
I_2 = +\infty.
A integral da direita diverge (vai para +\infty).

Passo 7

Concluo com a definição: para a integral imprópria original convergir ambos os limites I_1 e I_2 precisariam ser finitos. Aqui I_1=-\infty e I_2=+\infty. Como pelo menos um (na verdade ambos) divergem, a integral imprópria
\int_{0}^{5}\frac{x}{x-2}\,dx
é divergente — não existe um valor finito que a represente.

Resposta

Divergente.

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