Determine os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hôspital
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-1+\frac{1}{2} x^{2}}{x^{4}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - 1 + \tfrac{1}{2}x^{2}}{x^{4}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O numerador é \cos x - 1 + \tfrac{1}{2}x^{2}.
  • O denominador é x^{4}.
  • Se eu substituir x=0 diretamente, obtemos no numerador \cos 0 -1 + \tfrac{1}{2}\cdot 0^{2}=1-1+0=0 e no denominador 0^{4}=0. Logo a forma é do tipo 0/0 (indeterminada).
  • O enunciado pede para usar as regras de L’Hôpital como auxílio.

Passo 2

Breve aula sobre a regra de L’Hôpital (o que é e quando usar), explicada devagarinho:
  • Regra: se temos duas funções f(x) e g(x) diferenciáveis numa vizinhança de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto) e \lim_{x\to a} f(x) = 0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to a} g(x) = 0,ou ambas tendem a \pm\infty, então, se o limite \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}existe (ou é \pm\infty), temos \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
  • Importante: podemos aplicar a regra repetidas vezes se, depois da primeira derivação, ainda aparecer uma forma indeterminada 0/0 ou \infty/\infty.
  • O que cada símbolo significa:
    • f(x) é o numerador da nossa fração;
    • g(x) é o denominador;
    • f'(x) e g'(x) são as derivadas de f e g em relação a x;
    • a é o ponto para o qual x tende (no nosso caso a=0).
  • Regras de derivação usadas aqui (lembrando de forma bem prática):
    • \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x.
    • \dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x.
    • \dfrac{d}{dx}x^{n} = n x^{n-1}.
    • constantes somam normalmente e derivada de constante é zero.

Passo 3

Aplicamos L’Hôpital pela primeira vez.
Definimos
f(x)=\cos x - 1 + \tfrac{1}{2}x^{2},\qquad g(x)=x^{4}.
Derivando:
f'(x) = -\sin x + x,
g'(x) = 4x^{3}.
Agora consideramos o novo quociente \dfrac{f'(x)}{g'(x)} = \dfrac{-\sin x + x}{4x^{3}}.
Avaliação direta em x=0 dá numerador -\sin 0 + 0 = 0 e denominador 4\cdot 0^{3}=0, ou seja, ainda temos forma indeterminada 0/0. Portanto podemos aplicar L’Hôpital novamente.

Passo 4

Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez: derivamos f'(x) e g'(x).
f''(x) = -\cos x + 1,
g''(x) = 12x^{2}.
O novo quociente é \dfrac{f''(x)}{g''(x)} = \dfrac{-\cos x + 1}{12x^{2}}.
Avaliação em x=0: numerador -\cos 0 + 1 = -1 + 1 = 0, denominador 12\cdot 0^{2}=0. Ainda 0/0. Aplicamos L’Hôpital novamente.

Passo 5

Aplicamos L’Hôpital pela terceira vez: derivamos f''(x) e g''(x).
f^{(3)}(x) = \sin x,
g^{(3)}(x) = 24x.
O quociente agora é \dfrac{f^{(3)}(x)}{g^{(3)}(x)} = \dfrac{\sin x}{24x}.
Avaliação em x=0: numerador \sin 0 = 0, denominador 24\cdot 0 = 0. Continua 0/0. Ainda aplicamos L’Hôpital mais uma vez.

Passo 6

Aplicamos L’Hôpital pela quarta vez: derivamos f^{(3)}(x) e g^{(3)}(x).
f^{(4)}(x) = \cos x,
g^{(4)}(x) = 24.
O quociente agora é \dfrac{f^{(4)}(x)}{g^{(4)}(x)} = \dfrac{\cos x}{24}.
Esse já é uma expressão que pode ser avaliada diretamente em x=0, sem indeterminação:
\lim_{x\to 0} \frac{\cos x}{24} = \frac{\cos 0}{24} = \frac{1}{24}.
Portanto, após aplicar L’Hôpital quatro vezes, obtemos que o limite pedido é \tfrac{1}{24}.

Resposta

\dfrac{1}{24}

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