Determine os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hôspital
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas e observações imediatas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Se eu substituir
diretamente, obtemos no numerador e no denominador . Logo a forma é do tipo (indeterminada). - O enunciado pede para usar as regras de L’Hôpital como auxílio.
Passo 2
Breve aula sobre a regra de L’Hôpital (o que é e quando usar), explicada devagarinho:
- Regra: se temos duas funções
e diferenciáveis numa vizinhança de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto) e ou ambas tendem a , então, se o limite existe (ou é ), temos - Importante: podemos aplicar a regra repetidas vezes se, depois da primeira derivação, ainda aparecer uma forma indeterminada
ou . - O que cada símbolo significa:
-
é o numerador da nossa fração; -
é o denominador; -
e são as derivadas de e em relação a ; -
é o ponto para o qual tende (no nosso caso ).
-
- Regras de derivação usadas aqui (lembrando de forma bem prática):
-
. -
. -
. - constantes somam normalmente e derivada de constante é zero.
-
Passo 3
Aplicamos L’Hôpital pela primeira vez.
Definimos
Definimos
Derivando:
Agora consideramos o novo quociente
.
Avaliação direta em dá numerador
e denominador
, ou seja, ainda temos forma indeterminada
. Portanto podemos aplicar L’Hôpital novamente.
Avaliação direta em
Passo 4
Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez: derivamos
e
.
O novo quociente é
.
Avaliação em : numerador
, denominador
. Ainda
. Aplicamos L’Hôpital novamente.
Avaliação em
Passo 5
Aplicamos L’Hôpital pela terceira vez: derivamos
e
.
O quociente agora é
.
Avaliação em : numerador
, denominador
. Continua
. Ainda aplicamos L’Hôpital mais uma vez.
Avaliação em
Passo 6
Aplicamos L’Hôpital pela quarta vez: derivamos
e
.
O quociente agora é
.
Esse já é uma expressão que pode ser avaliada diretamente em , sem indeterminação:
Esse já é uma expressão que pode ser avaliada diretamente em
Portanto, após aplicar L’Hôpital quatro vezes, obtemos que o limite pedido é
.