Determine os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hôspital
Passo 1
O enunciado dá a expressão e pede o limite:
Informações relevantes fornecidas:
e a aproximação é pelo lado direito, ou seja
. Note que quando
temos
e
, então o expoente
. Portanto a expressão tem a forma indeterminada
.
Passo 2
Transformação útil para potências indeterminadas: se queremos o limite de uma função positiva elevada a algo, é comum tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto/quotiente. Seja
(se o limite existir e for positivo). Então consideramos o logaritmo:
Usando a propriedade do logaritmo
, obtemos
Observação: isso é válido porque, para
perto de
,
e
, então o logaritmo está bem definido.
Passo 3
Agora analisamos o limite
Quando
o numerador
e o denominador
, ou seja temos uma indeterminação do tipo
. Isso permite o uso da Regra de L’Hôpital, cujo enunciado (de forma prática) é: se
e
(ou ambos
), e
e
são diferenciáveis perto de
com
, então
desde que o limite à direita exista (ou seja
).
Passo 4
Aplicando L’Hôpital a
: derivada do numerador
é
e derivada do denominador
é
. Assim
Como
é contínua em
, o limite é simplesmente
Portanto concluímos que
.
Passo 5
Voltando da transformação logarítmica: se
, então
Interpretando: o limite pedido é
. Um raciocínio alternativo rápido (sem L’Hôpital) é usar a expansão
quando
, daí
; isso dá a mesma conclusão.