Determine os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hôspital
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} x^{1 /(x-1)}

Passo 1

O enunciado dá a expressão e pede o limite:
\lim_{x\to 1^{+}} x^{1/(x-1)}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{base: } x \quad\text{e}\quad \text{expoente: } \frac{1}{x-1},
e a aproximação é pelo lado direito, ou seja x\to 1^{+}. Note que quando x\to 1^{+} temos \,x\to 1 e \,x-1\to 0^{+}, então o expoente \frac{1}{x-1}\to +\infty. Portanto a expressão tem a forma indeterminada \,1^{\infty}.

Passo 2

Transformação útil para potências indeterminadas: se queremos o limite de uma função positiva elevada a algo, é comum tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto/quotiente. Seja
L=\lim_{x\to 1^{+}} x^{1/(x-1)}
(se o limite existir e for positivo). Então consideramos o logaritmo:
\ln L = \lim_{x\to 1^{+}} \ln\!\bigl(x^{1/(x-1)}\bigr).
Usando a propriedade do logaritmo \ln(a^b)=b\ln a, obtemos
\ln L = \lim_{x\to 1^{+}} \frac{\ln x}{x-1}.
Observação: isso é válido porque, para x perto de 1, x>0 e x^{1/(x-1)}>0, então o logaritmo está bem definido.

Passo 3

Agora analisamos o limite
\lim_{x\to 1^{+}} \frac{\ln x}{x-1}.
Quando x\to 1^{+} o numerador \ln x\to 0 e o denominador x-1\to 0, ou seja temos uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Isso permite o uso da Regra de L’Hôpital, cujo enunciado (de forma prática) é: se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty), e f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq 0, então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite à direita exista (ou seja \pm\infty).

Passo 4

Aplicando L’Hôpital a \dfrac{\ln x}{x-1}: derivada do numerador \ln x é \dfrac{1}{x} e derivada do denominador x-1 é 1. Assim
\lim_{x\to 1^{+}} \frac{\ln x}{x-1} = \lim_{x\to 1^{+}} \frac{1/x}{1} = \lim_{x\to 1^{+}} \frac{1}{x}.
Como \frac{1}{x} é contínua em x=1, o limite é simplesmente
\lim_{x\to 1^{+}} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1.
Portanto concluímos que \ln L = 1.

Passo 5

Voltando da transformação logarítmica: se \ln L = 1, então
L = e^{\,\ln L} = e^{1} = e.
Interpretando: o limite pedido é e. Um raciocínio alternativo rápido (sem L’Hôpital) é usar a expansão \ln x \sim x-1 quando x\to 1, daí \dfrac{\ln x}{x-1}\to 1; isso dá a mesma conclusão.

Resposta

e

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