Determine os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hôspital
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right)

Passo 1

O problema pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{o expressão é } \frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}.ãé
Ao nos aproximarmos de x para 1 os denominadores x-1 e \ln x tendem para \,0, portanto cada parcela individualmente diverge; isso indica que a expressão original pode ser uma forma indeterminada (vamos tratar isso nos próximos passos).

Passo 2

Vamos observar o comportamento das duas parcelas isoladamente ao aproximar x de 1:
\lim_{x\to 1}\frac{x}{x-1} \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 1}\frac{1}{\ln x}.
Cada uma delas diverge (por exemplo, \frac{x}{x-1} tem sinais opostos pelos dois lados de 1, e \frac{1}{\ln x} também diverge), então a expressão é da forma indeterminada \infty-\infty. Para transformar essa indeterminação em uma forma que permita aplicar as regras (como a regra de L’Hôpital) vamos juntar as frações num único quociente.

Passo 3

Juntamos as duas parcelas em uma única fração com denominador comum (x-1)\ln x:
\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x} = \frac{x\ln x-(x-1)}{(x-1)\ln x}.
Agora a expressão do limite fica
\lim_{x\to 1}\frac{x\ln x-(x-1)}{(x-1)\ln x}.
Verificamos o numerador e o denominador quando x\to 1:
x\ln x-(x-1)\longrightarrow 1\cdot 0 - 0 = 0,
(x-1)\ln x\longrightarrow 0\cdot 0 = 0.
Logo temos uma indeterminação do tipo \,0/0, e então podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

Breve explicação da regra de L’Hôpital (didática e prática): se \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} é uma indeterminação do tipo \,0/0 ou \infty/\infty e f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (com g' não nulo próximo de a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando esse limite existir. Vamos aplicar essa regra ao quociente do passo anterior.

Passo 5

Identificamos
f(x)=x\ln x-(x-1)=x\ln x - x + 1, \qquad g(x)=(x-1)\ln x.
Calculamos as derivadas primeira de f e g passo a passo.
Derivada de f(x):
  • Derivada de x\ln x usando a regra do produto: (x\ln x)'=\ln x + 1.
  • Derivada de -x+1 é -1.
    Portanto
f'(x)=\ln x + 1 - 1 = \ln x.
Derivada de g(x) usando produto (u v)'=u'v+uv' com u=x-1 e v=\ln x:
  • u' = 1, então u'v = \ln x.
  • v' = 1/x, então u v' = (x-1)\cdot\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.
    Portanto
g'(x)=\ln x + \frac{x-1}{x}.
Podemos reescrever \frac{x-1}{x}=1-\frac{1}{x}, então
g'(x)=\ln x + 1 - \frac{1}{x}.
Substituindo na regra de L’Hôpital obtemos
\lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 1}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{\ln x + 1 - \frac{1}{x}}.
Avaliar esse limite em x=1 ainda dá 0/0 (pois \ln 1=0 e 1-\frac{1}{1}=0), então aplicamos L’Hôpital mais uma vez.

Passo 6

Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez: calculamos as derivadas de f'(x) e g'(x).
Derivada de f'(x)=\ln x:
f''(x)=\frac{1}{x}.
Derivada de g'(x)=\ln x + 1 - \frac{1}{x}:
  • Derivada de \ln x é \frac{1}{x}.
  • Derivada de 1 é 0.
  • Derivada de -\frac{1}{x} é +\frac{1}{x^2}.
    Portanto
g''(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}.
Pela regra de L’Hôpital temos agora
\lim_{x\to 1}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to 1}\frac{f''(x)}{g''(x)} =\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}.
Calculamos o limite substituindo x=1:
\frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{1}+\frac{1}{1^2}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Passo 7

Concluímos que o limite original existe e vale \tfrac{1}{2}. Pequeno comentário final: uma forma alternativa de ver isso (não exigida) é usar expansão em série de Taylor de \ln x perto de 1, mas o procedimento com L’Hôpital que fizemos é direto e seguro em prova.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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