Determine os seguintes limites com auxilio das regras de L’Hôspital
Passo 1
O problema pede para calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Ao nos aproximarmos de
para
os denominadores
e
tendem para
, portanto cada parcela individualmente diverge; isso indica que a expressão original pode ser uma forma indeterminada (vamos tratar isso nos próximos passos).
Passo 2
Vamos observar o comportamento das duas parcelas isoladamente ao aproximar
de
:
Cada uma delas diverge (por exemplo,
tem sinais opostos pelos dois lados de
, e
também diverge), então a expressão é da forma indeterminada
. Para transformar essa indeterminação em uma forma que permita aplicar as regras (como a regra de L’Hôpital) vamos juntar as frações num único quociente.
Passo 3
Juntamos as duas parcelas em uma única fração com denominador comum
:
Agora a expressão do limite fica
Verificamos o numerador e o denominador quando
:
Logo temos uma indeterminação do tipo
, e então podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 4
Breve explicação da regra de L’Hôpital (didática e prática): se
é uma indeterminação do tipo
ou
e
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(com
não nulo próximo de
), então
quando esse limite existir. Vamos aplicar essa regra ao quociente do passo anterior.
Passo 5
Identificamos
Calculamos as derivadas primeira de
e
passo a passo.
Derivada de
:
- Derivada de
usando a regra do produto: . - Derivada de
é .
Portanto
Derivada de
usando produto
com
e
:
-
, então . -
, então .
Portanto
Podemos reescrever
, então
Substituindo na regra de L’Hôpital obtemos
Avaliar esse limite em
ainda dá
(pois
e
), então aplicamos L’Hôpital mais uma vez.
Passo 6
Aplicamos L’Hôpital pela segunda vez: calculamos as derivadas de
e
.
Derivada de
:
Derivada de
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto
Pela regra de L’Hôpital temos agora
Calculamos o limite substituindo
:
Passo 7
Concluímos que o limite original existe e vale
. Pequeno comentário final: uma forma alternativa de ver isso (não exigida) é usar expansão em série de Taylor de
perto de
, mas o procedimento com L’Hôpital que fizemos é direto e seguro em prova.