Determine em quanto tempo um capital duplica seu valor, quando aplicado à taxa exponencial de 5% ao mês. Resp. 1 ano, 2 meses e 7 dias.

Passo 1

O problema: queremos saber em quanto tempo um capital vai duplicar num regime de juros compostos (chamado também de capitalização exponencial) com taxa de 5% ao mês. Vamos usar a fórmula de montante em capitalização composta.

Passo 2

Em capitalização composta, o montante M após t meses com capital inicial C e taxa mensal i é dado por:
M = C , (1 + i)^t
Aqui i = 0,05. Para duplicar o capital, queremos M = 2C, logo:
2C = C , (1 + 0,05)^t
Simplificando (dividindo por C) fica:
(1,05)^t = 2

Passo 3

Para isolar t, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados. Sabendo que ln(a^b)=bln(a), temos:
t , ln(1,05) = ln(2)
Portanto:
t = ln(2)ln(1,05)

Passo 4

Agora calculamos numericamente. Usando ln(2) approx 0,6931 e ln(1,05) approx 0,04879, obtemos:
t approx 0,69310,04879 approx 14,2067 meses

Passo 5

Para transformar 14,2067 meses em anos, meses e dias:
  • Primeiro, separemos a parte inteira: 14 meses = 1 ano e 2 meses.
  • A parte decimal 0,2067 de um mês convertemos em dias aproximando o mês a 30 dias:
dias = 0,2067 times 30 approx 6,2 approx 7 dias

Passo 6

Logo, o capital duplica em aproximadamente 1 ano, 2 meses e 7 dias.

Resposta

1 ano, 2 meses e 7 dias.

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