Determine em quanto tempo um capital duplica seu valor, quando aplicado à taxa exponencial de 5% ao mês. Resp. 1 ano, 2 meses e 7 dias.
Passo 1
O problema: queremos saber em quanto tempo um capital vai duplicar num regime de juros compostos (chamado também de capitalização exponencial) com taxa de 5% ao mês. Vamos usar a fórmula de montante em capitalização composta.
Passo 2
Em capitalização composta, o montante
após
meses com capital inicial
e taxa mensal
é dado por:
Aqui
. Para duplicar o capital, queremos
, logo:
Simplificando (dividindo por
) fica:
Passo 3
Para isolar
, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados. Sabendo que
, temos:
Portanto:
Passo 4
Agora calculamos numericamente. Usando
e
, obtemos:
Passo 5
Para transformar
meses em anos, meses e dias:
- Primeiro, separemos a parte inteira:
meses = 1 ano e 2 meses. - A parte decimal
de um mês convertemos em dias aproximando o mês a 30 dias:
Passo 6
Logo, o capital duplica em aproximadamente 1 ano, 2 meses e 7 dias.
Resposta
1 ano, 2 meses e 7 dias.