Determine os seguintes limites, caso existam.
lim x -infty 3 x+5raiz2 x^2+5

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto -infty 3x+5raiz2x^2+5. O conteúdo é cálculo de limites no infinito envolvendo termos lineares e radicais, e vamos precisar usar fatoração de x no radicando e analisar o comportamento de x quando xto -infty.

Passo 2

Para lidar com a raiz, lembramos que raizx^2=|x|. Logo,
raiz2x^2+5=raizx^2l(2+5x^2r)=|x|raiz2+5x^2

Passo 3

Como estamos levando x a -infty, temos |x|=-x. Portanto
raiz2x^2+5=-xraiz2+5x^2

Passo 4

Substituindo na expressão inicial,
3x+5raiz2x^2+5=3x+5-xraiz2+5x^2=-3x+5x,raiz2+5x^2

Passo 5

Agora dividimos numerador e denominador por x (que é negativo, mas o sinal já está no “-” à frente):
-3x+5xraiz2+5x^2=-3+5xraiz2+5x^2

Passo 6

Quando xto -infty, temos 5/xto 0 e 5/x^2to 0. Assim o quociente tende a
-3+0raiz2+0=-3raiz2

Resposta

-\frac{3}{\sqrt{2}}

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