Utilize as regras de derivação estudadas para determinar a derivada de f, f^prime, para cada uma das seguintes funções.
f(x)=x^3+2 xx+3. Determine também f^prime(1).

Passo 1

A questão pede a derivada de f(x) = x^3 + 2xx+3 e também o valor de f'(1). O conteúdo principal que vamos usar é a regra do quociente, indicada quando temos uma função na forma g(x)h(x).

Passo 2

Definimos as funções g(x) = x^3 + 2x e h(x) = x + 3. Para aplicar a regra do quociente, calculamos as derivadas g'(x) = 3x^2 + 2 e h'(x) = 1.

Passo 3

A regra do quociente diz que
f'(x) = g'(x),h(x) - g(x),h'(x)[h(x)]^2
Substituindo os valores de g, g', h, h' fica:
f'(x) = (3x^2 + 2)(x + 3) - (x^3 + 2x)cdot 1(x + 3)^2

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
(3x^2+2)(x+3) - (x^3+2x) = 3x^3 + 9x^2 + 2x + 6 - x^3 - 2x = 2x^3 + 9x^2 + 6
Logo,
f'(x) = 2x^3 + 9x^2 + 6(x+3)^2

Passo 5

Para encontrar f'(1), basta substituir x = 1 em f'(x):
f'(1) = 2cdot1^3 + 9cdot1^2 + 6(1+3)^2 = 2 + 9 + 616 = 1716

Resposta

f'(x) = 2x^3 + 9x^2 + 6(x+3)^2 e f'(1) = 1716.

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