Encontre duas funções
e
tais que
e
não existam, mas
existe.
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar duas funções cujo limite individual em x→0 não exista, mas que somadas tenham limite existente. O tema aqui é limites de funções oscilatórias e a ideia é usar duas funções que desestabilizam separadamente o limite, mas que se cancelam quando somadas.
Passo 2
Uma escolha bem simples é usar f(x)=sin(1/x) e g(x)=−sin(1/x), definidas para x≠0. Assim cada uma oscila infinitamente quando x→0, e seus limites não existem.
Passo 3
Vamos ver por que cada limite não existe. Para f(x)=sin(1/x), quando x→0 o argumento 1/x passa por valores que fazem sin(1/x) oscilar entre −1 e 1 sem se aproximar de um único valor. Portanto
Passo 4
e de forma análoga
Passo 5
Agora, se somarmos as duas funções, temos f(x)+g(x)=sin(1/x)–sin(1/x)=0 para todo x≠0. Logo
Passo 6
mostrando que o limite da soma existe e vale zero, mesmo que cada limite individual falhe.
Resposta
Por exemplo, escolha
f(x)=\sin\bigl(1/x\bigr) e g(x)=−\sin\bigl(1/x\bigr).
f(x)=\sin\bigl(1/x\bigr) e g(x)=−\sin\bigl(1/x\bigr).