Encontre duas funções f e g tais que lim x 0 f(x) e lim x 0 g(x) não existam, mas lim x 0[f(x)+g(x)] existe.

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar duas funções cujo limite individual em x→0 não exista, mas que somadas tenham limite existente. O tema aqui é limites de funções oscilatórias e a ideia é usar duas funções que desestabilizam separadamente o limite, mas que se cancelam quando somadas.

Passo 2

Uma escolha bem simples é usar f(x)=sin(1/x) e g(x)=−sin(1/x), definidas para x≠0. Assim cada uma oscila infinitamente quando x→0, e seus limites não existem.

Passo 3

Vamos ver por que cada limite não existe. Para f(x)=sin(1/x), quando x→0 o argumento 1/x passa por valores que fazem sin(1/x) oscilar entre −1 e 1 sem se aproximar de um único valor. Portanto
limxto0 f(x)=limxto0 sinl(1/xr)não existe,ã

Passo 4

e de forma análoga
limxto0 g(x)=limxto0 -sinl(1/xr)não existeã

Passo 5

Agora, se somarmos as duas funções, temos f(x)+g(x)=sin(1/x)–sin(1/x)=0 para todo x≠0. Logo
limxto0l[f(x)+g(x)r]=limxto00=0,

Passo 6

mostrando que o limite da soma existe e vale zero, mesmo que cada limite individual falhe.

Resposta

Por exemplo, escolha
f(x)=\sin\bigl(1/x\bigr) e g(x)=−\sin\bigl(1/x\bigr).

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