Determine os seguintes limites, se existir:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
da função
Informações relevantes que o problema nos dá:
- A variável
tende a e a variável tende a . - A expressão é uma fração com numerador
e denominador
A tarefa é determinar se o limite existe e, em caso afirmativo, encontrar o seu valor.
Passo 2
Primeiro teste rápido: tentar substituir diretamente
para ver se a expressão já dá um número:
Como ao substituir obtemos a forma indeterminada
não podemos concluir o valor do limite por simples substituição: é preciso manipular algebricamente a expressão para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Uma técnica clássica para
é fatorar termos que contenham
(pois
). Vamos fatorar o numerador
por agrupamento. Começando por separar os termos:
Agora fatoramos cada parte que tem
:
Somando essas fatorações obtemos
Passo 4
Fatoramos o denominador
. Agrupando termos:
Fatorando o primeiro grupo:
Portanto
Passo 5
Agora a função original, para
, pode ser simplificada cancelando o fator comum
:
Comentário didático: o cancelamento é válido nas vizinhanças do ponto
exceto exatamente em
; para calcular o limite isso é suficiente, porque o limite só depende do comportamento da função em pontos próximos, não do valor exatamente no ponto. Após cancelar, obtemos uma função mais simples sem a indeterminação.
Passo 6
A expressão simplificada
é uma função racional contínua nas proximidades de
. Para funções contínuas, o limite ao se aproximar de um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Assim podemos avaliar
em
por substituição:
Passo 7
Comentário final e reforço (dica para prova): ao encontrar uma forma
, procure fatores comuns que vão a zero (aqui
). Fatorar por agrupamento costuma ser útil quando aparecem termos quadráticos como
ou produtos envolvendo
. Outra alternativa equivalente é fazer
com
e expandir; chega-se ao mesmo resultado.