Determine os seguintes limites, se existir:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{2 x^{2} y+y^{2}-2 x^{2}-1}{x^{2} y+y-x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando (x,y)\to(0,1) da função
\frac{2x^{2}y+y^{2}-2x^{2}-1}{x^{2}y+y-x^{2}-1}.
Informações relevantes que o problema nos dá:
  • A variável x tende a 0 e a variável y tende a 1.
  • A expressão é uma fração com numerador
N(x,y)=2x^{2}y+y^{2}-2x^{2}-1
e denominador
D(x,y)=x^{2}y+y-x^{2}-1.
A tarefa é determinar se o limite existe e, em caso afirmativo, encontrar o seu valor.

Passo 2

Primeiro teste rápido: tentar substituir diretamente (x,y)=(0,1) para ver se a expressão já dá um número:
N(0,1)=2\cdot0^{2}\cdot1+1^{2}-2\cdot0^{2}-1=0, \qquad D(0,1)=0^{2}\cdot1+1-0^{2}-1=0.
Como ao substituir obtemos a forma indeterminada \,0/0\,, não podemos concluir o valor do limite por simples substituição: é preciso manipular algebricamente a expressão para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Uma técnica clássica para \,0/0 é fatorar termos que contenham y-1 (pois y\to1). Vamos fatorar o numerador N(x,y) por agrupamento. Começando por separar os termos:
N(x,y)=\bigl(y^{2}-1\bigr)+\bigl(2x^{2}y-2x^{2}\bigr).
Agora fatoramos cada parte que tem y-1:
y^{2}-1=(y-1)(y+1), \qquad 2x^{2}y-2x^{2}=2x^{2}(y-1).
Somando essas fatorações obtemos
N(x,y)=(y-1)(y+1)+2x^{2}(y-1)=(y-1)\bigl(y+1+2x^{2}\bigr).

Passo 4

Fatoramos o denominador D(x,y). Agrupando termos:
D(x,y)=\bigl(x^{2}y-x^{2}\bigr)+(y-1).
Fatorando o primeiro grupo:
x^{2}y-x^{2}=x^{2}(y-1).
Portanto
D(x,y)=x^{2}(y-1)+(y-1)=(y-1)\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 5

Agora a função original, para y\neq1, pode ser simplificada cancelando o fator comum (y-1):
\frac{N(x,y)}{D(x,y)} = \frac{(y-1)\bigl(y+1+2x^{2}\bigr)}{(y-1)\bigl(x^{2}+1\bigr)} = \frac{y+1+2x^{2}}{x^{2}+1}.
Comentário didático: o cancelamento é válido nas vizinhanças do ponto (0,1) exceto exatamente em y=1; para calcular o limite isso é suficiente, porque o limite só depende do comportamento da função em pontos próximos, não do valor exatamente no ponto. Após cancelar, obtemos uma função mais simples sem a indeterminação.

Passo 6

A expressão simplificada
g(x,y)=\frac{y+1+2x^{2}}{x^{2}+1}
é uma função racional contínua nas proximidades de (0,1). Para funções contínuas, o limite ao se aproximar de um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Assim podemos avaliar g em (0,1) por substituição:
\lim_{(x,y)\to(0,1)}\frac{y+1+2x^{2}}{x^{2}+1} = \frac{1+1+2\cdot0^{2}}{0^{2}+1} = \frac{2}{1}=2.

Passo 7

Comentário final e reforço (dica para prova): ao encontrar uma forma \,0/0, procure fatores comuns que vão a zero (aqui y-1). Fatorar por agrupamento costuma ser útil quando aparecem termos quadráticos como y^{2}-1 ou produtos envolvendo x^{2}y. Outra alternativa equivalente é fazer y=1+h com h\to0 e expandir; chega-se ao mesmo resultado.

Resposta

2

Exercícios relacionados