Determine os seguintes limites, se existir:
\lim _{(x, y) \rightarrow(-1,2)} \frac{4 x^{2} y+4 y+8 x^{3}+8 x}{5 y^{3}+10 x y^{2}+16 y+32 x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(-1,2)} \frac{4x^{2}y+4y+8x^{3}+8x}{5y^{3}+10xy^{2}+16y+32x}.
  • Informação disponível: a fórmula do numerador e do denominador (funções polinomiais de x e y).
  • O objetivo é decidir se o limite existe e, se existir, encontrar o seu valor.

Passo 2

Tentativa de substituição direta (teste inicial).
Faço a substituição direta x=-1, y=2 em numerador e denominador para ver se a expressão tem forma determinada.
Numerador:
4(-1)^{2}\cdot2 + 4\cdot2 + 8(-1)^{3} + 8(-1) =4\cdot1\cdot2 + 8 -8 -8 =8+8-8-8=0.
Denominador:
5\cdot2^{3} + 10(-1)\cdot2^{2} + 16\cdot2 + 32(-1) =5\cdot8 -10\cdot4 +32 -32 =40-40+32-32=0.
Logo a substituição direta dá a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Precisamos de um método para analisar o comportamento próximo de (-1,2).

Passo 3

Estratégia escolhida (por que e como): mudança de variáveis para desenvolver e fatorar.
Quando aparece \tfrac{0}{0} em limites de funções racionais de duas variáveis, uma boa ideia é deslocar a origem para o ponto de interesse para ver os termos de ordem mais baixa (lineares) e tentar fatorar um fator comum. Faço a mudança
u = x+1,\qquad v = y-2,
assim (x,y)\to(-1,2) equivale a (u,v)\to(0,0). Em termos de u,v temos x=u-1 e y=v+2. Vou reescrever numerador e denominador em u,v.

Passo 4

Reescrever o numerador em u,v e simplificar passo a passo.
Parto da expressão do numerador
N(x,y)=4x^{2}y+4y+8x^{3}+8x.
Substituindo x=u-1 e y=v+2 e expandindo (faço os passos essenciais):
x^{2}=(u-1)^{2}=u^{2}-2u+1, \qquad x^{3}=(u-1)^{3}=u^{3}-3u^{2}+3u-1.
Agora calcular termo a termo (mostrando o resultado agregado):
\begin{aligned} 4x^{2}y &=4(u^{2}-2u+1)(v+2)=4u^{2}v-8uv+4v+8u^{2}-16u+8,\\[4pt] 4y &=4v+8,\\[4pt] 8x^{3} &=8u^{3}-24u^{2}+24u-8,\\[4pt] 8x &=8u-8. \end{aligned}
Somando tudo e agrupando termos iguais obtém-se (todas as constantes se cancelam):
N(u,v)=8u^{3}+4u^{2}v-8uv+8v-16u^{2}+16u.]

Passo 5

Mostrar que o numerador tem um fator linear comum (2u+v) e fatorar.
Observação: se v=-2u (ou seja 2u+v=0) a expressão N(u,v) fica zero para todo u pequeno (isto pode ser verificado substituindo v=-2u). Isso indica que 2u+v é fator de N. Faço a substituição auxiliar s=2u+v, isto é v=s-2u, e reescrevo N:
\begin{aligned} N(u,v)&=8u^{3}+4u^{2}(s-2u)-8u(s-2u)+8(s-2u)-16u^{2}+16u\\\ &= \,s\big(4u^{2}-8u+8\big). \end{aligned}
Portanto
N(u,v)=(2u+v)\big(4u^{2}-8u+8\big).

Passo 6

Reescrever e fatorar o denominador de forma semelhante.
Denominador
D(x,y)=5y^{3}+10xy^{2}+16y+32x.
Substituindo x=u-1, y=v+2 e expandindo (agrupando os termos) obtém-se
D(u,v)=5v^{3}+10uv^{2}+20v^{2}+40uv+36v+72u.
Usando novamente s=2u+v (isto é v=s-2u) e expandindo, nota-se que D(u,v) também se anula para s=0 para todo u, logo s é fator. Fazendo a conta:
D(u,v)= (2u+v)\Big(5s^{2}+20(1-u)s + (20u^{2}-40u+36)\Big),
ou, explicitando s=2u+v, temos uma expressão polinomial em u,v. O ponto importante é que há um fator comum (2u+v) tanto no numerador quanto no denominador.

Passo 7

Cancelar o fator comum e calcular o limite.
Para pontos (u,v) tais que 2u+v\neq0 (isto é, fora da linha v=-2u) a fração original pode ser simplificada cancelando (2u+v):
\frac{N(u,v)}{D(u,v)} = \frac{4u^{2}-8u+8}{5s^{2}+20(1-u)s + (20u^{2}-40u+36)}, \qquad s=2u+v.
Agora passo a limite quando (u,v)\to(0,0) (equivalente a (x,y)\to(-1,2)). Como o numerador e o denominador da fração simplificada são polinômios contínuos em (u,v) e o denominador no ponto (0,0) não é zero (vou calcular), posso simplesmente substituir u=0 e s=0:
\text{numerador no ponto} = 4\cdot0^{2}-8\cdot0+8 = 8,
\text{denominador no ponto} = 5\cdot0^{2}+20(1-0)\cdot0 + (20\cdot0^{2}-40\cdot0+36) = 36.
Portanto o limite da expressão simplificada é
\frac{8}{36}=\frac{2}{9}.

Passo 8

Comentário sobre existência do limite (pontos onde foi cancelado o fator).
Havia uma aparente linha problemática 2u+v=0 (isto é, y-2=-2(x+1), ou y=-2x) onde o numerador e denominador originais eram ambos zero. Mas após a fatoração verificamos que (2u+v) é um fator comum e a expressão simplificada é contínua no ponto (u,v)=(0,0) porque o denominador simplificado vale 36\neq0 aí. Isso garante que a aproximação por qualquer caminho (incluindo caminhos que se aproximem pela vizinhança da linha problemática, desde que não se fique exatamente em pontos onde a expressão original não está definida) tende ao mesmo valor \tfrac{2}{9}. Logo o limite existe e é \tfrac{2}{9}.

Resposta

\dfrac{2}{9}

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