Determine os seguintes limites, se existir:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- Pede-se calcular o limite
- Informação disponível: a fórmula do numerador e do denominador (funções polinomiais de
e ). - O objetivo é decidir se o limite existe e, se existir, encontrar o seu valor.
Passo 2
Tentativa de substituição direta (teste inicial).
Faço a substituição direta
,
em numerador e denominador para ver se a expressão tem forma determinada.
Numerador:
Denominador:
Logo a substituição direta dá a forma indeterminada
. Precisamos de um método para analisar o comportamento próximo de
.
Passo 3
Estratégia escolhida (por que e como): mudança de variáveis para desenvolver e fatorar.
Quando aparece
em limites de funções racionais de duas variáveis, uma boa ideia é deslocar a origem para o ponto de interesse para ver os termos de ordem mais baixa (lineares) e tentar fatorar um fator comum. Faço a mudança
assim
equivale a
. Em termos de
temos
e
. Vou reescrever numerador e denominador em
.
Passo 4
Reescrever o numerador em
e simplificar passo a passo.
Parto da expressão do numerador
Substituindo
e
e expandindo (faço os passos essenciais):
Agora calcular termo a termo (mostrando o resultado agregado):
Somando tudo e agrupando termos iguais obtém-se (todas as constantes se cancelam):
Passo 5
Mostrar que o numerador tem um fator linear comum
e fatorar.
Observação: se
(ou seja
) a expressão
fica zero para todo
pequeno (isto pode ser verificado substituindo
). Isso indica que
é fator de
. Faço a substituição auxiliar
, isto é
, e reescrevo
:
Portanto
Passo 6
Reescrever e fatorar o denominador de forma semelhante.
Denominador
Substituindo
,
e expandindo (agrupando os termos) obtém-se
Usando novamente
(isto é
) e expandindo, nota-se que
também se anula para
para todo
, logo
é fator. Fazendo a conta:
ou, explicitando
, temos uma expressão polinomial em
. O ponto importante é que há um fator comum
tanto no numerador quanto no denominador.
Passo 7
Cancelar o fator comum e calcular o limite.
Para pontos
tais que
(isto é, fora da linha
) a fração original pode ser simplificada cancelando
:
Agora passo a limite quando
(equivalente a
). Como o numerador e o denominador da fração simplificada são polinômios contínuos em
e o denominador no ponto
não é zero (vou calcular), posso simplesmente substituir
e
:
Portanto o limite da expressão simplificada é
Passo 8
Comentário sobre existência do limite (pontos onde foi cancelado o fator).
Havia uma aparente linha problemática
(isto é,
, ou
) onde o numerador e denominador originais eram ambos zero. Mas após a fatoração verificamos que
é um fator comum e a expressão simplificada é contínua no ponto
porque o denominador simplificado vale
aí. Isso garante que a aproximação por qualquer caminho (incluindo caminhos que se aproximem pela vizinhança da linha problemática, desde que não se fique exatamente em pontos onde a expressão original não está definida) tende ao mesmo valor
. Logo o limite existe e é
.