Determine os seguintes limites no infinito:
lim x -infty -500 x^3+4 x^21+2 x^4

Passo 1

O enunciado pede o limite no infinito de uma função racional. O conteúdo envolve limites no infinito para funções da forma P(x)Q(x), onde há polinômios em x. Vamos usar o fato de que, para xtopminfty, o termo de maior grau domina.

Passo 2

Para simplificar, fatoramos o maior grau de x em numerador e denominador. No numerador o maior grau é x^3 e no denominador é x^4. Escrevemos:
-500x^3+4x^21+2x^4 =x^3l(-500+4/xr)x^4l(2+1/x^4r) =-500+4/xx,(2+1/x^4)

Passo 3

Agora avaliamos o comportamento quando xto -infty. Note que 4/xto0 e 1/x^4to0. Assim a fração fica assintoticamente
-5002x= -5002x = -250x

Passo 4

Por fim, como xto -infty, o quociente -250/x tende a zero (é positivo, mas o limite é zero). Portanto o limite original é zero.

Resposta

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