Determine se a seguinte função é contínua em \mathrm{x}=0 :
\begin{aligned} & f(x)=\frac{x-6}{x-3}, \quad x<0 \\\ & f(x)=2 \quad x=0 \\\ & f(x)=\sqrt{4+x^{2}} \quad x>0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função é contínua em x=0. A função é dada por partes:
f(x)=\frac{x-6}{x-3}, \quad x<0
f(0)=2
f(x)=\sqrt{4+x^{2}}, \quad x>0
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x<0 a expressão é \dfrac{x-6}{x-3}.
  • Em x=0 o valor da função é f(0)=2.
  • Para x>0 a expressão é \sqrt{4+x^{2}}.
    A pergunta é única: “a função é contínua em x=0?”

Passo 2

O que significa "ser contínua em x=0"? Vou explicar isso com calma e de forma prática.
  • A função f é contínua em x=0 se o limite de f(x) quando x tende a 0 existir e for igual ao valor f(0).
  • Em termos matemáticos isso quer dizer que devemos ter
\lim_{x\to0} f(x)=f(0).
  • Como a função é dada por partes, é útil verificar os limites laterais:
\lim_{x\to0^-} f(x)\quad\text{(limite pela esquerda)} \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to0^+} f(x)\quad\text{(limite pela direita)}.
  • Para existir \lim_{x\to0} f(x) é necessário e suficiente que os dois limites laterais existam e sejam iguais. Depois comparamos esse valor comum com f(0).
    Resumo prático: calcular \lim_{x\to0^-} f(x), \lim_{x\to0^+} f(x) e checar se ambos são iguais a f(0)=2.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to0^-} f(x).
  • Para x<0 temos f(x)=\dfrac{x-6}{x-3}. Essa é uma função racional; funções racionais são contínuas em todos os pontos onde o denominador não é zero. Aqui o denominador x-3 só anula em x=3, que não é nosso ponto de interesse (estamos indo para 0).
  • Portanto para a etapa de limite podemos simplesmente substituir x=0 na expressão (porque a expressão é contínua em torno de 0):
\lim_{x\to0^-} \frac{x-6}{x-3}=\frac{0-6}{0-3}=\frac{-6}{-3}=2.
Conclusão: \lim_{x\to0^-} f(x)=2.

Passo 4

Calcular o limite pela direita \lim_{x\to0^+} f(x).
  • Para x>0 temos f(x)=\sqrt{4+x^{2}}. A função x\mapsto \sqrt{4+x^{2}} é composta por soma, potência e raiz quadrada; todas essas operações são contínuas em seus domínios, e o argumento 4+x^{2} está bem definido e positivo para x próximo de 0. Logo a composição é contínua em 0.
  • Então novamente podemos substituir x=0:
\lim_{x\to0^+} \sqrt{4+x^{2}}=\sqrt{4+0^{2}}=\sqrt{4}=2.
Conclusão: \lim_{x\to0^+} f(x)=2.

Passo 5

Comparação dos limites e do valor da função em 0.
  • Encontramos \lim_{x\to0^-} f(x)=2 e \lim_{x\to0^+} f(x)=2. Como os dois limites laterais são iguais, o limite geral existe e vale
\lim_{x\to0} f(x)=2.
  • O valor da função no ponto é f(0)=2 (dado no enunciado).
  • Como \lim_{x\to0} f(x)=f(0), pela definição de continuidade concluímos que a função é contínua em x=0.

Resposta

Sim. f é contínua em x=0.

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