Determine se a seguinte função é contínua em
:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a função é contínua em
. A função é dada por partes:
Informações relevantes fornecidas:
- Para
a expressão é . - Em
o valor da função é . - Para
a expressão é .
A pergunta é única: “a função é contínua em?”
Passo 2
O que significa "ser contínua em
"? Vou explicar isso com calma e de forma prática.
- A função
é contínua em se o limite de quando tende a existir e for igual ao valor . - Em termos matemáticos isso quer dizer que devemos ter
- Como a função é dada por partes, é útil verificar os limites laterais:
- Para existir
é necessário e suficiente que os dois limites laterais existam e sejam iguais. Depois comparamos esse valor comum com .
Resumo prático: calcular, e checar se ambos são iguais a .
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda
.
- Para
temos . Essa é uma função racional; funções racionais são contínuas em todos os pontos onde o denominador não é zero. Aqui o denominador só anula em , que não é nosso ponto de interesse (estamos indo para ). - Portanto para a etapa de limite podemos simplesmente substituir
na expressão (porque a expressão é contínua em torno de ):
Conclusão:
.
Passo 4
Calcular o limite pela direita
.
- Para
temos . A função é composta por soma, potência e raiz quadrada; todas essas operações são contínuas em seus domínios, e o argumento está bem definido e positivo para próximo de . Logo a composição é contínua em . - Então novamente podemos substituir
:
Conclusão:
.
Passo 5
Comparação dos limites e do valor da função em
.
- Encontramos
e . Como os dois limites laterais são iguais, o limite geral existe e vale
- O valor da função no ponto é
(dado no enunciado). - Como
, pela definição de continuidade concluímos que a função é contínua em .
Resposta
Sim.
é contínua em
.