Determine os seguintes limites
(i) lim x 1 x^2-1|x-1|
(ii) lim x -2 1|x+2|+x^2
(iii) lim x 3^- x^2 |x-3|x-3

Passo 1

O enunciado pede pra calcular três limites que envolvem valor absoluto e, em um caso, limite lateral. Vamos usar as propriedades de valor absoluto e de limites unilaterais.

Passo 2

Para o item (i), note que podemos fatorar x^2-1 como o produto (x-1)(x+1). Assim temos:
x^2-1|x-1|=(x-1)(x+1)|x-1|=x-1|x-1|,(x+1)
A expressão (x-1)/|x-1| vale +1 quando x>1 e vale –1 quando x<1. Logo o limite pela direita ( xto1^+) é
+1cdot(1+1)=2,
o limite pela esquerda ( xto1^-) é
-1cdot(1+1)=-2
Como as duas surgem diferentes, o limite bidirecional não existe.

Passo 3

Para o item (ii), quando xto-2 temos x+2to0. Mas o valor absoluto faz |x+2|to0^+, e assim
1|x+2|to+infty
O termo x^2 tende a 4, mas isso é insignificante diante de uma divergência para +∞. Então a soma também vai para +∞.

Passo 4

No item (iii) queremos xto3^-. Para x<3 x-3<0, então
|x-3|x-3 = -(x-3)x-3 = -1
Multiplicando por x^2 -x^2) e, fazendo xto3^-, isso tende a -9).

Passo 5

Juntando tudo temos as respostas para cada item.

Resposta

(i) não existe (ii) +∞ (iii) –9

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