Determine os seguintes limites:
lim t 0^+(a cos tt, t^t, t sin (1t)).

Passo 1

O enunciado pede os limites, quando t→0⁺, de três expressões: (a·cos t)/t, tᵗ e t·sin(1/t). Vamos usar noções de equivalência de séries, mudança de variável em exponenciais e desigualdade de funções limitadas.

Passo 2

Para limₜ→0⁺ (a·cos t)/t usamos que cos t →1 quando t→0 e que dividir por t→0⁺ gera um infinito: como cos t=1–t²/2+…, então a·cos t/t = a·(1–t²/2+…)/t = a/t – (a·t)/2+…. O termo dominante é a/t, que diverge. Portanto esse limite é +∞ se a>0, –∞ se a<0 e trivialmente 0 se a=0.

Passo 3

Para limₜ→0⁺ tᵗ escrevemos tᵗ = exp(t·ln t). Como t→0⁺ temos ln t→–∞, mas t·ln t→0 (é 0·(–∞) no tipo), pois ln t ≪1/t. Logo exp(t·ln t)→exp(0)=1.

Passo 4

Para limₜ→0⁺ t·sin(1/t) usamos que |sin(1/t)|≤1, então |t·sin(1/t)|≤t. Como t→0⁺, t→0, e pelo teorema do confronto t·sin(1/t)→0.

Resposta

limtto0^+acos tt=+infty,&a>0,-infty,&a<0,0,&a=0,limtto0^+t^t=1,limtto0^+tsin1t=0

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