Encontre as inversas das funções a seguir:
f(x)=raiz10-x

Passo 1

Nesse exercício a gente quer achar a inversa da função f(x)=raiz10 - x. O conteúdo aqui é inversão de função envolvendo raiz quadrada, e vamos precisar usar três ideias principais: restrição de domínio por causa da raiz, injetividade (pra poder inverter) e o método de trocar x por y e isolar.

Passo 2

Primeiro, nota que para f(x)=raiz10-x estar bem definida a gente precisa de 10 - x >= 0, ou seja x <= 10. Além disso, como a raiz quadrada retorna sempre um valor não negativo, o valor de saída f(x) varia em [0, +infty).

Passo 3

Agora a gente verifica que f é estritamente decrescente em ( -infty, 10]. Isso garante que f é injetora nesse domínio, e portanto tem inversa.

Passo 4

Para encontrar a inversa, define y = raiz10 - x e isola x:
y = raiz10 - x Longrightarrow y^2 = 10 - x Longrightarrow x = 10 - y^2

Passo 5

Para finalizar, troca y por x na expressão obtida. Assim a inversa é
f^-1(x) = 10 - x^2

Passo 6

Por fim, lembra que o domínio de f^-1 são os valores que f atinge, ou seja [0, +infty), e sua imagem fica em ( -infty, 10].

Resposta

f^-1(x)=10 - x^2, x>=0.

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