Determine os seguintes limites.
lim x 1 sen(2 x^5+5 x^3-7)sen(x^7+6 x-7)

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto1sinl(2x^5+5x^3-7r)sinl(x^7+6x-7r)
O conteúdo principal é o limite de uma forma indeterminada tfrac00, e vamos usar a propriedade de ângulo pequeno
limuto0sin uu=1 (ou l’Hôpital) para resolver.

Passo 2

Verificamos a substituição direta em cada argumento:
2cdot1^5+5cdot1^3-7=2+5-7=0, 1^7+6cdot1-7=1+6-7=0,
logo o quociente é do tipo tfrac00.

Passo 3

Pela propriedade de ângulo pequeno temos
limxto1sinl(f(x)r)sinl(g(x)r) =limxto1f(x)g(x),
onde f(x)=2x^5+5x^3-7 e g(x)=x^7+6x-7.

Passo 4

O novo limite limxto1tfracf(x)g(x) ainda dá 0/0, então aplicamos l’Hôpital:
f'(x)=10x^4+15x^2, g'(x)=7x^6+6
Avaliamo-los em x=1:
f'(1)=10+15=25, g'(1)=7+6=13

Passo 5

Portanto,
limxto1f(x)g(x) =f'(1)g'(1) =2513

Resposta

2513

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