Encontre uma solução particular das equações dadas:
y^prime prime-y^prime-6 y=2 sen 3 x

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação
y'' - y' - 6y = 2sin(3x)
Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante senoidal. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - y' - 6y = 0
com polinômio característico
r^2 - r - 6 = 0implies r=3,,-2
Como 3i não é raiz, o palpite para a solução particular é
yp = Acos(3x) + Bsin(3x),
com A e B desconhecidos.

Passo 3

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = -3Asin(3x) + 3Bcos(3x),
yp'' = -9Acos(3x) -9Bsin(3x)
Substituindo em y''-y'-6y obtemos
(-9Acos -9Bsin) -(-3Asin+3Bcos) -6(Acos+Bsin)
=(-15A-3B)cos(3x)+(3A-15B)sin(3x)
Para igualar a 2sin(3x), fazemos o sistema
-15A-3B = 0, 3A-15B = 2

Passo 4

Da primeira equação B=-5A. Substituindo na segunda:
3A -15(-5A)=78A=2implies A=tfrac139, B=-tfrac539
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yp = 139cos(3x) - 539sin(3x)

Resposta

yp(x)=139cos(3x)-539sin(3x)

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