Determine os seguintes limites.
lim x 2^+ ln (x^2-3)x-2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto2^+lnl(x^2-3r)x-2
Estamos diante de um quociente cuja substituição direta leva a ln(1)=0 no numerador e 0 no denominador, ou seja, um caso de indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, usaremos a regra de l’Hôpital, que diz para derivar numerador e denominador até eliminar a forma indeterminada.

Passo 2

Verificamos a indeterminação pela substituição direta em ln(x^2-3)x-2:
numerador to ln(2^2-3)=ln(1)=0
denominador to 2-2=0.
Logo, é 0/0, podemos aplicar l’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a regra de l’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a x:
derivada do numerador
ddxl[ln(x^2-3)r] =1x^2-3cdotddx(x^2-3) =2xx^2-3,
e derivada do denominador é 1.

Passo 4

O limite original passa a ser
limxto2^+2xx^2-3
Agora substituímos x=2 sem indeterminação:
2cdot 22^2-3=44-3=41=4

Resposta

O valor do limite é 4.

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