Resolva as integrais a seguir, evidenciando a técnica de integração utilizada.
Passo 1
Então, temos o seguinte exercício: resolver a integral $ \int e^{x} \cos(x) , dx $. Aqui, estamos trabalhando com integrais que envolvem funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que nos ajuda a integrar o produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
Nessa fórmula, escolhemos qual parte da nossa integral será $ u $ e qual será $ dv $. Uma boa estratégia é escolher $ u $ como uma função que, ao derivarmos, simplifica, e $ dv $ que é fácil de integrar.
Passo 3
Vamos aplicar a integração por partes na nossa integral $ \int e^{x} \cos(x) , dx $.
Escolhemos:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Agora, temos uma nova integral $ \int e^{x} \sin(x) , dx $ que também precisa ser resolvida.
Passo 5
Vamos aplicar a integração por partes novamente na nova integral $ \int e^{x} \sin(x) , dx $.
Escolhemos:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Passo 7
Vamos chamar a integral original de $ I $:
Substituindo na equação anterior:
Passo 8
Agora, vamos resolver para $ I $:
Resposta
Portanto, a integral $ \int e^{x} \cos(x) , dx $ é:
onde $ C $ é a constante de integração.