Resolva as integrais a seguir, evidenciando a técnica de integração utilizada.
integral e^x cos (x) d x

Passo 1

Então, temos o seguinte exercício: resolver a integral $ \int e^{x} \cos(x) , dx $. Aqui, estamos trabalhando com integrais que envolvem funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que nos ajuda a integrar o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nessa fórmula, escolhemos qual parte da nossa integral será $ u $ e qual será $ dv $. Uma boa estratégia é escolher $ u $ como uma função que, ao derivarmos, simplifica, e $ dv $ que é fácil de integrar.

Passo 3

Vamos aplicar a integração por partes na nossa integral $ \int e^{x} \cos(x) , dx $.
Escolhemos:
integral e^x cos(x) , dx
u = e^x Rightarrow du = e^x , dx

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral e^x cos(x) , dx = e^x sin(x) - integral sin(x) e^x , dx
Agora, temos uma nova integral $ \int e^{x} \sin(x) , dx $ que também precisa ser resolvida.

Passo 5

Vamos aplicar a integração por partes novamente na nova integral $ \int e^{x} \sin(x) , dx $.
Escolhemos:
integral e^x sin(x) , dx
u = e^x Rightarrow du = e^x , dx

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral e^x sin(x) , dx = -e^x cos(x) - integral -cos(x) e^x , dx
= -e^x cos(x) + integral e^x cos(x) , dx

Passo 7

Vamos chamar a integral original de $ I $:
I
Substituindo na equação anterior:
I = integral e^x cos(x) , dx
I = e^x sin(x) - ( -e^x cos(x) + I )

Passo 8

Agora, vamos resolver para $ I $:
I
I + I = e^x sin(x) + e^x cos(x)
2I = e^x (sin(x) + cos(x))

Resposta

Portanto, a integral $ \int e^{x} \cos(x) , dx $ é:
integral e^x cos(x) , dx
onde $ C $ é a constante de integração.

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