Determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções.
Passo 1
O enunciado pede para aplicarmos o Teorema de existência e unicidade de soluções para a equação linear não homogênea de terceira ordem
O conteúdo da matéria é Equações Diferenciais Lineares de ordem
com coeficientes contínuos e termo fonte contínuo. Para garantir existência e unicidade de solução num ponto
, precisamos que os coeficientes
,
,
,
e o termo não homogêneo sejam todas funções contínuas num intervalo aberto contendo
.
e o termo não homogêneo
Passo 2
Verificamos a continuidade dos coeficientes:
– A função é contínua para todo
.
– A função é contínua para todo
.
– A função é contínua para todo
.
– A função
– A função
– A função
Passo 3
Agora, o termo não homogêneo
é contínuo apenas para
. Em
,
não está definido (em
).
Passo 4
Portanto, o Teorema de existência e unicidade garante que, para qualquer condição inicial dada em
, existe e é única uma solução em todo intervalo aberto que contenha
e no qual todas as funções acima sejam contínuas. Como o único problema de continuidade vem de
, esses intervalos devem estar contidos em
Resposta
As soluções existem e são únicas em qualquer intervalo aberto contido em
.