Determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções.
y^prime prime prime+t y^prime prime+t^2 y^prime+t^3 y=ln t

Passo 1

O enunciado pede para aplicarmos o Teorema de existência e unicidade de soluções para a equação linear não homogênea de terceira ordem
y''' + t,y'' + t^2,y' + t^3,y = ln t
O conteúdo da matéria é Equações Diferenciais Lineares de ordem n com coeficientes contínuos e termo fonte contínuo. Para garantir existência e unicidade de solução num ponto t0, precisamos que os coeficientes
,1, ,t, ,t^2, ,t^3
e o termo não homogêneo ln t sejam todas funções contínuas num intervalo aberto contendo t0.

Passo 2

Verificamos a continuidade dos coeficientes:
– A função p2(t)=t é contínua para todo tinR.
– A função p1(t)=t^2 é contínua para todo tinR.
– A função p0(t)=t^3 é contínua para todo tinR.

Passo 3

Agora, o termo não homogêneo g(t)=ln t é contínuo apenas para t>0. Em t<=0, ln t não está definido (em R).

Passo 4

Portanto, o Teorema de existência e unicidade garante que, para qualquer condição inicial dada em t0, existe e é única uma solução em todo intervalo aberto que contenha t0 e no qual todas as funções acima sejam contínuas. Como o único problema de continuidade vem de ln t, esses intervalos devem estar contidos em
(0,infty)

Resposta

As soluções existem e são únicas em qualquer intervalo aberto contido em (0,infty).

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