Encontre a solução geral da equação diferencial de ordem superior.
y^prime prime prime-4 y^prime prime-5 y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - 4y'' - 5y' = 0
O conteúdo aqui é o método do polinômio característico, que consiste em assumir uma solução da forma y=e^rx e achar os valores de r.

Passo 2

Assumimos y=e^rx. Substituindo na equação diferencial, temos
r^3e^rx - 4r^2e^rx - 5re^rx = 0
Como e^rxneq0, obtemos o polinômio característico
r^3 - 4r^2 - 5r = 0

Passo 3

Fatoramos r em evidência:
r(r^2 - 4r - 5)=0
Uma raiz é ,r=0. As outras vêm da equação quadrática
r^2 - 4r - 5 = 0
O discriminante é
De<a = (-4)^2 - 4cdot1cdot(-5) = 16 + 20 = 36,
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r = 4 pm raiz362 = 4 pm 62,
resultando em r=5 e r=-1.

Passo 4

Como as raízes r=0, r=5 e r=-1 são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é a combinação linear das funções e^r x correspondentes:
y(x) = C1 e^0cdot x + C2 e^5x + C3 e^-x,
onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^5x + C3 e^-x

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