Determine os seguintes limites.
:
:
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o seguinte limite:
Informações dadas/evidentes do enunciado:
- Quando
temos . - Quando
temos . - Portanto o produto
é da forma indeterminada .
Calma — isso só significa que precisamos transformar a expressão para aplicar uma ferramenta que resolva essa indeterminação.
Passo 2
Transformação útil: escrever o produto como uma razão que permita aplicar o Teorema de L’Hôpital. Observamos que
Verificação das condições para usar L’Hôpital: ao fazermos
,
- o numerador
, - o denominador
.
Temos então uma forma, adequada para aplicar L’Hôpital (ambas funções diferenciáveis em para algum ). Vou usar L’Hôpital porque é direto e faz as contas ficarem simples.
Passo 3
Aplico L’Hôpital: derivamos numerador e denominador e tomamos o limite da razão das derivadas. Derivadas:
Portanto
Agora simplifico a fração das derivadas passo a passo:
Então
Passo 4
(Tentando reforçar a intuição com um método alternativo) Outra maneira é a substituição
. Quando
temos
. Reescrevendo:
É conhecido (e pode-se provar por L’Hôpital novamente) que
logo
. Isso confirma o resultado anterior. Intuitivamente:
(exponencial) cresce muito mais rápido que
(linear), então a fração vai a zero.
Passo 5
Interpretação final e encorajamento: o termo
tende a zero “rápido o suficiente” para anular o crescimento (em módulo) de
que vai a
. Resultado final obtido e consistente por duas vias. Ótimo trabalho até aqui — você já entendeu a ideia principal!