Determine os seguintes limites.
:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln (x) x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o seguinte limite:
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \ln(x)\,x.
Informações dadas/evidentes do enunciado:
  • Quando x \to 0^{+} temos \ln(x)\to -\infty.
  • Quando x \to 0^{+} temos x\to 0.
  • Portanto o produto \ln(x)\,x é da forma indeterminada 0\cdot(-\infty).
    Calma — isso só significa que precisamos transformar a expressão para aplicar uma ferramenta que resolva essa indeterminação.

Passo 2

Transformação útil: escrever o produto como uma razão que permita aplicar o Teorema de L’Hôpital. Observamos que
\ln(x)\,x=\frac{\ln(x)}{1/x}.
Verificação das condições para usar L’Hôpital: ao fazermos x\to 0^{+},
  • o numerador \ln(x)\to -\infty,
  • o denominador 1/x\to +\infty.
    Temos então uma forma \frac{-\infty}{+\infty}, adequada para aplicar L’Hôpital (ambas funções diferenciáveis em (0,\delta) para algum \delta>0). Vou usar L’Hôpital porque é direto e faz as contas ficarem simples.

Passo 3

Aplico L’Hôpital: derivamos numerador e denominador e tomamos o limite da razão das derivadas. Derivadas:
(\ln(x))'=\frac{1}{x},\qquad \left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^{2}}.
Portanto
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(x)}{1/x} = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{1/x}{-1/x^{2}}.
Agora simplifico a fração das derivadas passo a passo:
\frac{1/x}{-1/x^{2}}=\frac{1}{x}\cdot\left(-\frac{x^{2}}{1}\right)=-x.
Então
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(x)}{1/x}=\lim_{x\to 0^{+}}(-x)=0.

Passo 4

(Tentando reforçar a intuição com um método alternativo) Outra maneira é a substituição x=e^{-t}. Quando x\to 0^{+} temos t=-\ln(x)\to +\infty. Reescrevendo:
\ln(x)\,x = (-t)\,e^{-t} = -\,\frac{t}{e^{t}}.
É conhecido (e pode-se provar por L’Hôpital novamente) que
\lim_{t\to\infty}\frac{t}{e^{t}}=0,
logo -\,\frac{t}{e^{t}}\to 0. Isso confirma o resultado anterior. Intuitivamente: e^{t} (exponencial) cresce muito mais rápido que t (linear), então a fração vai a zero.

Passo 5

Interpretação final e encorajamento: o termo x tende a zero “rápido o suficiente” para anular o crescimento (em módulo) de \ln(x) que vai a -\infty. Resultado final obtido e consistente por duas vias. Ótimo trabalho até aqui — você já entendeu a ideia principal!

Resposta

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