Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=4\left(x^{2}-y^{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas cartesianas e pede uma equação equivalente em coordenadas polares. Informação fornecida:
(x^{2}+y^{2})^{2}=4(x^{2}-y^{2}).
A tarefa é reescrever essa relação usando as variáveis polares r e \theta (ou seja, encontrar uma expressão envolvendo r e \theta que seja equivalente à equação acima). Não há outras informações ocultas no enunciado.

Passo 2

Vamos lembrar o que são as coordenadas polares e como relacioná-las com as cartesianas. Definições básicas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r é a distância do ponto à origem (ou seja, r\ge 0 na convenção usual) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo. Uma identidade importante que segue diretamente dessas definições é
x^{2}+y^{2}=r^{2},
porque x^{2}+y^{2}=(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r^{2}.

Passo 3

Agora fazemos a substituição direta na equação dada: o termo (x^{2}+y^{2})^{2} vira (r^{2})^{2}=r^{4}. Para o lado direito x^{2}-y^{2} substituímos x e y por suas expressões polares:
x^{2}-y^{2}=(r\cos\theta)^{2}-(r\sin\theta)^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta).
Portanto a equação cartesiana se transforma em
r^{4}=4\,r^{2}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta).

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica para expressar \cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta em termos do cosseno do dobro do ângulo:
\cos 2\theta = \cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta.
Essa identidade vem da fórmula \cos 2\theta = \cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta, que é direta a partir das fórmulas de soma de ângulos ou da identidade \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1. Substituindo na equação do passo anterior obtemos
r^{4}=4\,r^{2}\cos 2\theta.

Passo 5

A equação acima pode ser simplificada fatorando r^{2}:
r^{2}\bigl(r^{2}-4\cos 2\theta\bigr)=0.
Isso dá duas possibilidades matematicamente:
  1. r^{2}=0, que corresponde ao ponto r=0 (a origem);
  2. r^{2}=4\cos 2\theta.
Na prática, a forma que descreve a curva (exceto o ponto trivial da origem) é
r^{2}=4\cos 2\theta.

Passo 6

Vamos interpretar e colocar a resposta no formato usual de curvas polares. Como r^{2} é não negativo, a relação \,r^{2}=4\cos 2\theta exige que \cos 2\theta\ge 0. Se quisermos escrever r explicitamente:
r=2\sqrt{\cos 2\theta},
com a condição \cos 2\theta\ge 0 (e tomando r\ge 0 na convenção polar). Alternativamente, algumas pessoas escrevem r=\pm 2\sqrt{\cos 2\theta}, mas na prática a forma mais limpa e padrão é manter
r^{2}=4\cos 2\theta,
acompanhada da restrição \cos 2\theta\ge 0.

Passo 7

Resumo didático rápido para a prova (dicas que valem pontos): substituir x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, usar x^{2}+y^{2}=r^{2} e a identidade \cos 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta. Não esqueça de mencionar a restrição de existência \cos 2\theta\ge 0 quando passar de r^{2} para r.

Resposta

r^{2}=4\cos 2\theta

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