Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva cuja equação em coordenadas cartesianas é dada por
.
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas cartesianas e pede uma equação equivalente em coordenadas polares. Informação fornecida:
A tarefa é reescrever essa relação usando as variáveis polares
e
(ou seja, encontrar uma expressão envolvendo
e
que seja equivalente à equação acima). Não há outras informações ocultas no enunciado.
Passo 2
Vamos lembrar o que são as coordenadas polares e como relacioná-las com as cartesianas. Definições básicas:
onde
é a distância do ponto à origem (ou seja,
na convenção usual) e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo. Uma identidade importante que segue diretamente dessas definições é
porque
.
Passo 3
Agora fazemos a substituição direta na equação dada: o termo
vira
. Para o lado direito
substituímos
e
por suas expressões polares:
Portanto a equação cartesiana se transforma em
Passo 4
Usamos a identidade trigonométrica para expressar
em termos do cosseno do dobro do ângulo:
Essa identidade vem da fórmula
, que é direta a partir das fórmulas de soma de ângulos ou da identidade
. Substituindo na equação do passo anterior obtemos
Passo 5
A equação acima pode ser simplificada fatorando
:
Isso dá duas possibilidades matematicamente:
-
, que corresponde ao ponto (a origem); -
.
Na prática, a forma que descreve a curva (exceto o ponto trivial da origem) é
Passo 6
Vamos interpretar e colocar a resposta no formato usual de curvas polares. Como
é não negativo, a relação
exige que
. Se quisermos escrever
explicitamente:
com a condição
(e tomando
na convenção polar). Alternativamente, algumas pessoas escrevem
, mas na prática a forma mais limpa e padrão é manter
acompanhada da restrição
.
Passo 7
Resumo didático rápido para a prova (dicas que valem pontos): substituir
e
, usar
e a identidade
. Não esqueça de mencionar a restrição de existência
quando passar de
para
.