Determine os seguintes limites.
Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{2 x}}{3 x^{2}-4 x+2}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{2x}}{3x^{2}-4x+2}.
Informações dadas: o numerador é \,e^{2x}\, e o denominador é \,3x^{2}-4x+2\,. Queremos o comportamento da razão quando x tende para +\infty.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação: quando x\to+\infty temos \,e^{2x}\to+\infty e \,3x^{2}-4x+2\to+\infty. Portanto a expressão tem a forma \infty/\infty, que é um caso onde a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que as derivadas existam nas proximidades de +\infty).
Explicando a Regra de L’Hôpital de forma simples: se \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=\infty (ou ambos 0) e f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite do lado direito exista (ou seja \pm\infty). Aqui a=+\infty, regra análoga vale.

Passo 3

Vamos aplicar L’Hôpital pela primeira vez. Precisamos das derivadas:
  • Derivada do numerador: pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}.
Explicação: e^{u}’ = u' e^{u}; aqui u=2x, u'=2.
  • Derivada do denominador: pela regra do poder,
\frac{d}{dx}(3x^{2}-4x+2)=6x-4.
Substituindo obtemos o novo limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{2e^{2x}}{6x-4}.

Passo 4

Novamente, quando x\to+\infty, 2e^{2x}\to+\infty e 6x-4\to+\infty. Ainda é da forma \infty/\infty, então podemos aplicar L’Hôpital outra vez.
Derivando novamente:
  • Derivada do numerador: \frac{d}{dx}(2e^{2x})=4e^{2x}.
  • Derivada do denominador: \frac{d}{dx}(6x-4)=6.
O limite passa a ser
\lim_{x\to+\infty}\frac{4e^{2x}}{6}.

Passo 5

Fatoramos a constante:
\lim_{x\to+\infty}\frac{4e^{2x}}{6}=\frac{4}{6}\lim_{x\to+\infty}e^{2x}=\frac{2}{3}\lim_{x\to+\infty}e^{2x}.
Sabemos que \lim_{x\to+\infty}e^{2x}=+\infty. Multiplicar +\infty por a constante positiva \frac{2}{3} +\infty. Logo o limite é +\infty.

Passo 6

Comentário intuitivo (opcional, para fixar a ideia): exponenciais crescem muito mais rápido que qualquer polinômio. Assim \,e^{2x} “vence” 3x^{2}-4x+2 quando x fica grande, fazendo a razão tender para +\infty. Uma forma formal de ver isso é aplicar L’Hôpital repetidas vezes (como fizemos) ou notar que para qualquer n temos \lim_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{e^{ax}}=0 se a>0.

Resposta

+\infty

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