Determine os seguintes limites.
Calcule os limites
Calcule os limites
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o limite
Informações dadas: o numerador é
e o denominador é
. Queremos o comportamento da razão quando
tende para
.
Passo 2
Verificamos o tipo de indeterminação: quando
temos
e
. Portanto a expressão tem a forma
, que é um caso onde a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que as derivadas existam nas proximidades de
).
Explicando a Regra de L’Hôpital de forma simples: se
(ou ambos
) e
e
são diferenciáveis perto de
com
, então
desde que o limite do lado direito exista (ou seja
). Aqui
, regra análoga vale.
Passo 3
Vamos aplicar L’Hôpital pela primeira vez. Precisamos das derivadas:
- Derivada do numerador: pela regra da cadeia,
Explicação:
’ =
; aqui
,
.
- Derivada do denominador: pela regra do poder,
Substituindo obtemos o novo limite
Passo 4
Novamente, quando
,
e
. Ainda é da forma
, então podemos aplicar L’Hôpital outra vez.
Derivando novamente:
- Derivada do numerador:
. - Derivada do denominador:
.
O limite passa a ser
Passo 5
Fatoramos a constante:
Sabemos que
. Multiplicar
por a constante positiva
dá
. Logo o limite é
.
Passo 6
Comentário intuitivo (opcional, para fixar a ideia): exponenciais crescem muito mais rápido que qualquer polinômio. Assim
“vence”
quando
fica grande, fazendo a razão tender para
. Uma forma formal de ver isso é aplicar L’Hôpital repetidas vezes (como fizemos) ou notar que para qualquer
temos
se
.