Determine os seguintes limites.
lim x 0^+ sen(x)^(1 / x)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto0^+sin(x)^1/x
O conteúdo que vamos usar é o cálculo de limites envolvendo potência com expoente que também tende a infinito ou a zero. A estratégia é passar ao logaritmo natural para “descer” o expoente.

Passo 2

Como para x>0 temos sin(x)>0, podemos definir
L=limxto0^+sin(x)^1/x
e estudar primeiro o logaritmo
ln L=limxto0^+lnl(sin(x)r)x
Depois recuperamos L = e^ln L.

Passo 3

Reescrevemos o numerador usando
lnl(sin(x)r)=ln(x)+ln!l(sin(x)xr)
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ln(sin(x))x =ln(x)x+1x,ln!l(sin(x)xr)
Sabemos que quando xto0^+:
  1. ln(x)/xto -infty (pois ln(x)to-infty e divide por algo que vai a 0^+).
  2. sin(x)/xto1, então lnl(sin(x)/xr)sim -x^2/6 e assim
1xln!l(sin(x)xr);approx;-x^2/6x=-tfracx6;longrightarrow;0
Combinando,
ln L = -infty + 0 = -infty

Passo 4

Como ln Lto-infty, temos
L = e^ln L = e^-infty = 0

Resposta

limxto0^+sin(x)^1/x=0

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