Encontre a solução geral da equação diferencial de ordem superior.
y^prime prime prime+3 y^prime prime+3 y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem três com coeficientes constantes
y''' + 3y'' + 3y' + y = 0
O conteúdo necessário é o método do polinômio característico: associar à EDO o polinômio em r, encontrar suas raízes e escrever a combinação linear de exponenciais (ajustada para raízes múltiplas).

Passo 2

Formamos o polinômio característico substituindo ymapsto e^rx, y'mapsto re^rx, etc. Isso dá
r^3 + 3r^2 + 3r + 1 = 0

Passo 3

Observamos que
r^3 + 3r^2 + 3r + 1 = (r+1)^3,
logo há uma única raiz real r = -1 com multiplicidade 3.

Passo 4

Para uma raiz real r0 de multiplicidade m, a solução geral inclui termos
e^r0 x, x e^r0 x, x^2 e^r0 x,dots,x^m-1e^r0 x
Aqui r0=-1 e m=3, então a solução geral é
y(x) = l(C1 + C2,x + C3,x^2r)e^-x,
onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^-x + C2,x,e^-x + C3,x^2,e^-x

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