Encontre a solução geral da equação diferencial de ordem superior.
d^3 ud t^3+d^2 ud t^2-2 u=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem três com coeficientes constantes
d^3udt^3 + d^2udt^2 - 2,u = 0
O que vamos usar é o método da equação característica: supor u(t)=e^r t e achar os valores de r.

Passo 2

Assumindo u(t)=e^r t, substituímos na equação para obter a equação característica em r:
r^3 + r^2 - 2 = 0

Passo 3

Procuramos raízes óbvias pelo Teorema das Raízes Racionais. Testando r=1, temos
1^3 + 1^2 - 2 = 0,
logo r=1 é raiz.

Passo 4

Fazendo divisão sintética de r^3+r^2-2 por (r-1), obtém-se o quociente
r^2 + 2r + 2 = 0
As raízes dessa equação quadrática são
r = -2 pm raiz4 - 82 = -1 pm i

Passo 5

Como temos uma raiz real simples r=1 e um par de raízes complexas conjugadas r=-1pm i, a solução geral real é
u(t) = C1,e^t ;+;e^-tl(C2cos t + C3sin tr),
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

u(t) = C1,e^t + e^-tl(C2cos t + C3sin tr)

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