Classifique as afirmações abaixo como verdadeira ( V ) ou falsa ( F ) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Toda sequência limitada é convergente;
(b) ( ) Toda sequência limitada é monótona;
(c) ( ) Toda sequência monótona é limitada;
(d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
(e) ( ) Toda sequência convergente é monótona;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) () Se (an) e (bn) são sequências tais que lim n +infty an=0, então a (an bn) é convergente;
(h) ( ) A sequência (an) definida por a1=1 e an+1=n ann+1 é convergente;
(i) ( ) Se an <= bn, forall n, tal que ( bn ) é convergente, então ( an ) é convergente;
(j) ( ) Se (| an mid ) é convergente, então ( an ) é convergente;

Passo 1

O enunciado nos pede para classificar como verdadeira ou falsa diversas afirmações sobre sequências, envolvendo propriedades de limitação, monotonicidade, convergência e divergência. Para cada afirmação, vamos usar contraexemplos quando for falsa, e demonstração direta quando for verdadeira.

Passo 2

(a) “Toda sequência limitada é convergente.”
(b) “Toda sequência limitada é monótona.”
Contraexemplo para (a) e (b): considere
an=(-1)^n
Essa sequência é limitada (os valores são apenas -1 e 1), porém não converge (os limites laterais são distintos) e também não é monotônica (ela oscila). Logo ambas são falsas:
(a) F, (b) F.

Passo 3

(c) “Toda sequência monótona é limitada.”
(d) “Toda sequência divergente é não monótona.”
(e) “Toda sequência convergente é monótona.”
(f) “Toda sequência divergente é não limitada.”
Para cada:
– Para (c), a sequência bn=n é monótona crescente mas não é limitada, logo (c) é F.
– Para (d), a sequência bn=n também diverge e é monotônica, logo há divergentes monotônicas; (d) é F.
– Para (e), a sequência
cn=(-1)^n/n
converge a 0 mas não é monotônica (oscila de sinal), logo (e) é F.
– Para (f), a sequência an=(-1)^n diverge mas é limitada, logo (f) é F.

Passo 4

(g) “Se limntoinftyan=0, então l(anbnr) é convergente.”
Contraexemplo: tome
an=1n, bn=n^2
Então lim an=0, mas
anbn=n^2n=n
que diverge. Logo (g) é F.
(h) “A sequência definida por a1=1 e
an+1=n,ann+1
é convergente.”
Vamos encontrar fórmula fechada. Suponha por indução que an=1/n. Para n=1, a1=1/1 está ok. Se vale para n, então
an+1 =n,ann+1 =nn+1cdot1n =1n+1
Logo an=1/n para todo n e converge a 0. Assim (h) é V.

Passo 5

(i) “Se an<= bn para todo n e (bn) é convergente, então (an) é convergente.”
Contraexemplo: seja bn=0 para todo n (converge a 0) e an=-n. Então an<= bn, mas an diverge a -infty. Logo (i) é F.
(j) “Se (|an|) é convergente, então (an) é convergente.”
Contraexemplo clássico: an=(-1)^n. Então |an|=1 converge a 1, mas an não converge. Logo (j) é F.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) F
(d) F
(e) F
(f) F
(g) F
(h) V
(i) F
(j) F

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