Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (
) ou falsa (
) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Toda sequência limitada é convergente;
(b) ( ) Toda sequência limitada é monótona;
(c) ( ) Toda sequência monótona é limitada;
(d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
(e) ( ) Toda sequência convergente é monótona;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) () Se
e
são sequências tais que
, então a
é convergente;
(h) ( ) A sequência
definida por
e
é convergente;
(i) ( ) Se
, tal que (
) é convergente, então (
) é convergente;
(j) ( ) Se (|
) é convergente, então (
) é convergente;
(a) ( ) Toda sequência limitada é convergente;
(b) ( ) Toda sequência limitada é monótona;
(c) ( ) Toda sequência monótona é limitada;
(d) ( ) Toda sequência divergente é não monótona;
(e) ( ) Toda sequência convergente é monótona;
(f) ( ) Toda sequência divergente é não limitada;
(g) () Se
(h) ( ) A sequência
(i) ( ) Se
(j) ( ) Se (|
Passo 1
O enunciado nos pede para classificar como verdadeira ou falsa diversas afirmações sobre sequências, envolvendo propriedades de limitação, monotonicidade, convergência e divergência. Para cada afirmação, vamos usar contraexemplos quando for falsa, e demonstração direta quando for verdadeira.
Passo 2
(a) “Toda sequência limitada é convergente.”
(b) “Toda sequência limitada é monótona.”
Contraexemplo para (a) e (b): considere
(b) “Toda sequência limitada é monótona.”
Contraexemplo para (a) e (b): considere
Essa sequência é limitada (os valores são apenas
e
), porém não converge (os limites laterais são distintos) e também não é monotônica (ela oscila). Logo ambas são falsas:
(a) F, (b) F.
(a) F, (b) F.
Passo 3
(c) “Toda sequência monótona é limitada.”
(d) “Toda sequência divergente é não monótona.”
(e) “Toda sequência convergente é monótona.”
(f) “Toda sequência divergente é não limitada.”
Para cada:
(d) “Toda sequência divergente é não monótona.”
(e) “Toda sequência convergente é monótona.”
(f) “Toda sequência divergente é não limitada.”
Para cada:
– Para (c), a sequência
é monótona crescente mas não é limitada, logo (c) é F.
– Para (d), a sequência também diverge e é monotônica, logo há divergentes monotônicas; (d) é F.
– Para (e), a sequência
– Para (d), a sequência
– Para (e), a sequência
converge a
mas não é monotônica (oscila de sinal), logo (e) é F.
– Para (f), a sequência diverge mas é limitada, logo (f) é F.
– Para (f), a sequência
Passo 4
(g) “Se
, então
é convergente.”
Contraexemplo: tome
Contraexemplo: tome
Então
, mas
que diverge. Logo (g) é F.
(h) “A sequência definida por
e
é convergente.”
Vamos encontrar fórmula fechada. Suponha por indução que . Para
,
está ok. Se vale para
, então
Vamos encontrar fórmula fechada. Suponha por indução que
Logo
para todo
e converge a
. Assim (h) é V.
Passo 5
(i) “Se
para todo
e
é convergente, então
é convergente.”
Contraexemplo: seja para todo
(converge a
) e
. Então
, mas
diverge a
. Logo (i) é F.
Contraexemplo: seja
(j) “Se
é convergente, então
é convergente.”
Contraexemplo clássico: . Então
converge a
, mas
não converge. Logo (j) é F.
Contraexemplo clássico:
Resposta
(a) F
(b) F
(c) F
(d) F
(e) F
(f) F
(g) F
(h) V
(i) F
(j) F
(b) F
(c) F
(d) F
(e) F
(f) F
(g) F
(h) V
(i) F
(j) F