Determine os seguintes limites:
lim x -1^- x+3x^2-x-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o limite da função x+3x^2-x-2 quando x se aproxima de -1 pela esquerda (ou seja, valores menores que -1). Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, mais precisamente no estudo de limites de funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta perto de x = -1, analisando o numerador e o denominador separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: x^2 - x - 2. É importante fatorar o denominador para identificar possíveis valores que fazem com que ele seja zero, já que isso pode indicar pontos onde a função não é definida ou onde há potencialmente uma assíntota.

Passo 3

Fatorando o denominador:
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
Então, a função fica:
x+3(x - 2)(x + 1)
Agora, vemos que o denominador se anula quando x = 2 ou x = -1. Nosso interesse é no comportamento perto de x = -1.

Passo 4

Vamos analisar o numerador quando x se aproxima de -1:
x + 3 quando x -1 Rightarrow -1 + 3 = 2
Então, o numerador tende a 2.

Passo 5

Agora, vamos ver o denominador perto de x = -1:
(x - 2)(x + 1)
Quando x se aproxima de -1 pela esquerda, digamos x = -1 - h com h > 0 e pequeno, então:
x + 1 = (-1 - h) + 1 = -h (tende a 0 por valores negativos)
E:
x - 2 = (-1 - h) - 2 = -3 - h (fica negativo)
Então, o denominador está se aproximando de (-3 - h)(-h) = 3h + h^2, que tende a 0 positivo conforme h 0^+.

Passo 6

Agora, juntando tudo:
  • O numerador tende a 2.
  • O denominador tende a 0^+.
Quando temos uma constante positiva dividida por um número que tende a zero positivo, o resultado tende a +infty.

Resposta

lim x -1^- x+3x^2-x-2 = +infty

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