Seja \bar{X} a média de uma amostra aleatória de tamanho n=15 de uma distribuição com média \mu=80 a variância \sigma^{2}=60. Use a desigualdade de Chebyshev para encontrar um limite inferior para P(75 \leq \bar{X} \leq 85).

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória de tamanho n=15 de uma distribuição com média \mu=80 e variância \sigma^{2}=60, e pede um limite inferior para
P\bigl(75 \le \bar X \le 85\bigr).
O conteúdo necessário é a desigualdade de Chebyshev aplicada à média amostral.

Passo 2

Para a média amostral \bar X vale
\Var(\bar X) \;=\;\frac{\sigma^{2}}{n} \;=\;\frac{60}{15} \;=\;4.

Passo 3

A desigualdade de Chebyshev afirma que, para todo k>0,
P\bigl(|\bar X - \mu|\ge k\bigr) \;\le\; \frac{\Var(\bar X)}{k^{2}}.
Escolhendo k=5 temos
P\bigl(|\bar X - 80|<5\bigr) \;=\; P\bigl(75 \le \bar X \le 85\bigr) \;\ge\; 1 - \frac{4}{5^{2}} \;=\; 1 - \frac{4}{25} \;=\; \frac{21}{25}.

Resposta

O limite inferior para P(75 \le \bar X \le 85) dado por Chebyshev é
\frac{21}{25}\approx0{,}84.

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