Determine os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sin (4 y)}{y}

Passo 1

O problema pede para calcular o limite
\lim_{y\to 0} \frac{\sin(4y)}{y}.
Informações dadas:
  • A função considerada é o quociente \dfrac{\sin(4y)}{y}.
  • A variável y tende para 0.
  • Temos que usar a regra de L’Hospital para encontrar esse limite.

Passo 2

Verificar o tipo de indeterminação: substituindo y=0 no numerador e no denominador obtemos
\sin(4\cdot 0)=\sin(0)=0
e
0.
Portanto a expressão toma a forma \dfrac{0}{0}, que é uma indeterminação adequada para aplicar a regra de L’Hospital, desde que numerador e denominador sejam diferenciáveis numa vizinhança de 0.

Passo 3

Enunciado da regra de L’Hospital (versão para a indeterminação 0/0): se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), f(a)=g(a)=0 e o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui podemos tomar f(y)=\sin(4y) e g(y)=y, porque ambas são diferenciáveis perto de 0 e f(0)=g(0)=0.

Passo 4

Calcular as derivadas f'(y) e g'(y).
Explicação da regra da cadeia (necessária para derivar \sin(4y)): se h(y)=\sin(u(y)), então
h'(y)=\cos(u(y))\cdot u'(y).
No nosso caso u(y)=4y, logo u'(y)=4. Aplicando a regra da cadeia:
f'(y)=\frac{d}{dy}\sin(4y)=\cos(4y)\cdot 4 = 4\cos(4y).
E a derivada do denominador é simples:
g'(y)=\frac{d}{dy}y=1.

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hospital:
\lim_{y\to 0}\frac{\sin(4y)}{y} = \lim_{y\to 0}\frac{f'(y)}{g'(y)} = \lim_{y\to 0}\frac{4\cos(4y)}{1} = 4\lim_{y\to 0}\cos(4y).
Agora usamos que \cos é contínua em 0, então
\lim_{y\to 0}\cos(4y)=\cos(0)=1.

Passo 6

Portanto o limite vale 4. (Observação alternativa: poderíamos também usar o limite fundamental \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1 fazendo t=4y, obtendo \dfrac{\sin(4y)}{y}=\dfrac{\sin(4y)}{4y}\cdot 4\to 1\cdot 4=4.)

Resposta

4

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