Determine os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
Passo 1
O problema pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é o quociente
. - A variável
tende para . - Temos que usar a regra de L’Hospital para encontrar esse limite.
Passo 2
Verificar o tipo de indeterminação: substituindo
no numerador e no denominador obtemos
e
Portanto a expressão toma a forma
, que é uma indeterminação adequada para aplicar a regra de L’Hospital, desde que numerador e denominador sejam diferenciáveis numa vizinhança de
.
Passo 3
Enunciado da regra de L’Hospital (versão para a indeterminação
): se
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
),
e o limite
existe (ou é
), então
Aqui podemos tomar
e
, porque ambas são diferenciáveis perto de
e
.
Passo 4
Calcular as derivadas
e
.
Explicação da regra da cadeia (necessária para derivar
): se
, então
No nosso caso
, logo
. Aplicando a regra da cadeia:
E a derivada do denominador é simples:
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hospital:
Agora usamos que
é contínua em
, então
Passo 6
Portanto o limite vale
. (Observação alternativa: poderíamos também usar o limite fundamental
fazendo
, obtendo
.)
Resposta
4