Determine os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o seguinte limite:
Informações dadas: a expressão no numerador é
e a do denominador é
. O ponto de interesse é
. Não há outras condições adicionais.
Passo 2
Primeiro vamos ver o comportamento do numerador e do denominador quando
. Note que
e
Então a forma do limite é
, que é uma forma indeterminada clássica. Nessas situações podemos usar a regra adequada para indeterminações do tipo
.
Passo 3
Apresento a regra que vamos aplicar (regra de L’Hospital) de forma clara e simples. Suponha que
e
sejam funções que tendem a
quando
(aqui
), e que
e
sejam diferenciáveis em um intervalo próximo de
(exceto possivelmente em
). Se existir o limite
então
Explicando o que é derivada, de modo bem prático: a derivada de uma função dá a taxa de variação instantânea da função; para funções lineares
a derivada é simplesmente
(a inclinação da reta). Aqui isso facilita bastante.
Passo 4
Identifico
e
. Calculo as derivadas:
a derivada de é
a derivada de
porque a derivada de
é
e a derivada da constante
é
.
bastante direto: para qualquer reta ,
.
bastante direto: para qualquer reta
Passo 5
Agora a derivada de
é
pela mesma razão: a derivada de
é
e da constante
é
.
Passo 6
Pelo que a regra de L’Hospital diz, podemos substituir o limite original pelo limite das derivadas (já que tínhamos a forma
e as derivadas existem):
A expressão
é uma constante, então o limite quando
é simplesmente
.
Passo 7
Verificação alternativa (útil na prova): dividindo numerador e denominador por
obtemos
Ao fazer
, os termos
e
vão para
, sobrando
. Isso confirma o resultado obtido pela regra de L’Hospital.