Determine os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 x+1}{5 x-2}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o seguinte limite:
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{5x-2}.
Informações dadas: a expressão no numerador é 2x+1 e a do denominador é 5x-2. O ponto de interesse é x\to+\infty. Não há outras condições adicionais.

Passo 2

Primeiro vamos ver o comportamento do numerador e do denominador quando x\to+\infty. Note que
2x+1 \to +\infty \quad\text{quando}\quad x\to+\infty
e
5x-2 \to +\infty \quad\text{quando}\quad x\to+\infty.
Então a forma do limite é \dfrac{+\infty}{+\infty}, que é uma forma indeterminada clássica. Nessas situações podemos usar a regra adequada para indeterminações do tipo \infty/\infty.

Passo 3

Apresento a regra que vamos aplicar (regra de L’Hospital) de forma clara e simples. Suponha que f(x) e g(x) sejam funções que tendem a \pm\infty quando x\to a (aqui a=+\infty), e que f e g sejam diferenciáveis em um intervalo próximo de a (exceto possivelmente em a). Se existir o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Explicando o que é derivada, de modo bem prático: a derivada de uma função dá a taxa de variação instantânea da função; para funções lineares ax+b a derivada é simplesmente a (a inclinação da reta). Aqui isso facilita bastante.

Passo 4

Identifico f(x)=2x+1 e g(x)=5x-2. Calculo as derivadas:
a derivada de f é
f'(x)=\frac{d}{dx}(2x+1)=2,
porque a derivada de 2x é 2 e a derivada da constante 1 é 0.
bastante direto: para qualquer reta ax+b, \dfrac{d}{dx}(ax+b)=a.

Passo 5

Agora a derivada de g é
g'(x)=\frac{d}{dx}(5x-2)=5,
pela mesma razão: a derivada de 5x é 5 e da constante -2 é 0.

Passo 6

Pelo que a regra de L’Hospital diz, podemos substituir o limite original pelo limite das derivadas (já que tínhamos a forma \infty/\infty e as derivadas existem):
\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{5x-2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{5}.
A expressão \dfrac{2}{5} é uma constante, então o limite quando x\to+\infty é simplesmente \dfrac{2}{5}.

Passo 7

Verificação alternativa (útil na prova): dividindo numerador e denominador por x obtemos
\frac{2x+1}{5x-2}=\frac{2+\tfrac{1}{x}}{5-\tfrac{2}{x}}.
Ao fazer x\to+\infty, os termos \tfrac{1}{x} e \tfrac{2}{x} vão para 0, sobrando \dfrac{2}{5}. Isso confirma o resultado obtido pela regra de L’Hospital.

Resposta

\dfrac{2}{5}

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