Resolva o problema de valor inicial dado empregando transformadas de Laplace.
\begin{aligned} & \frac{a^{a}}{a t^{2}}+3 y=\delta(t-4) \\\ & y(0)=0, y^{\prime}(0)=0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{a^{a}}{a}t^{2}+3y(t)=\delta(t-4)
com as condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
O que a questão pede: encontrar explicitamente a solução y(t) que satisfaça a equação e as condições iniciais, usando transformadas de Laplace. As informações relevantes dadas são: o termo forçante é a soma de um polinômio em t (proporcional a t^{2}) e um impulso de Dirac em t=4; a é um parâmetro constante; as condições iniciais valem em t=0.

Passo 2

Vamos recordar as definições e propriedades da transformada de Laplace que vamos usar (explicadas de forma simples):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável da transformada e t é a variável do tempo. Propriedades úteis:
  1. Linearidade: \mathcal{L}\{c_1 f(t)+c_2 g(t)\}=c_1\mathcal{L}\{f(t)\}+c_2\mathcal{L}\{g(t)\}, onde c_1,c_2 são constantes.
  2. Transformada de potências inteiras não negativas: para inteiro n\ge 0,
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Isso significa, por exemplo, \mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\dfrac{2}{s^{3}}.
3) Transformada do impulso de Dirac deslocado:
\mathcal{L}\{\delta(t-a)\}(s)=e^{-a s},\qquad a\ge0.
  1. Inversa: se \mathcal{L}\{f\}=F(s), então \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=f(t). A inversa é linear também, de modo que podemos inverter termo a termo.
Vou aplicar essas regras passo a passo à equação dada.

Passo 3

Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Denotando \mathcal{L}\{y(t)\}(s)=Y(s), e usando linearidade, obtemos
\mathcal{L}\!\left\{\frac{a^{a}}{a}t^{2}\right\}(s)+3\mathcal{L}\{y(t)\}(s)=\mathcal{L}\{\delta(t-4)\}(s).
Agora uso as fórmulas da Passo 2:
\mathcal{L}\!\left\{\frac{a^{a}}{a}t^{2}\right\}(s)=\frac{a^{a}}{a}\cdot\frac{2}{s^{3}},
e
\mathcal{L}\{\delta(t-4)\}(s)=e^{-4s}.
Substituindo tudo:
\frac{a^{a}}{a}\cdot\frac{2}{s^{3}}+3Y(s)=e^{-4s}.

Passo 4

Agora isolo Y(s). Primeiro simplifico \dfrac{a^{a}}{a}=a^{a-1}. Assim
3Y(s)=e^{-4s}-\frac{2a^{a-1}}{s^{3}}.
Dividindo por 3,
Y(s)=\frac{1}{3}e^{-4s}-\frac{2a^{a-1}}{3}\cdot\frac{1}{s^{3}}.

Passo 5

Vamos inverter a transformada termo a termo para obter y(t).
  • O primeiro termo \dfrac{1}{3}e^{-4s} é a transformada de \dfrac{1}{3}\delta(t-4), pois \mathcal{L}\{\delta(t-4)\}=e^{-4s}. Logo a inversa é \dfrac{1}{3}\delta(t-4).
  • O segundo termo \dfrac{2a^{a-1}}{3}\cdot\dfrac{1}{s^{3}}: sabemos que \mathcal{L}\{t^{2}\}=\dfrac{2}{s^{3}}, então \dfrac{1}{s^{3}} corresponde a \dfrac{t^{2}}{2}. Assim a inversa é
\frac{2a^{a-1}}{3}\cdot\frac{t^{2}}{2}=\frac{a^{a-1}}{3}t^{2}.
Tomando o sinal (é subtraído em Y(s)), obtemos um termo -\dfrac{a^{a-1}}{3}t^{2}.
Portanto, combinando,
y(t)=\frac{1}{3}\delta(t-4)-\frac{a^{a-1}}{3}t^{2}.

Passo 6

Verificação rápida das condições iniciais (para nos deixar mais confiantes): em t=0 temos \delta(0-4)=0 e t^{2}=0, logo y(0)=0. A derivada de -\dfrac{a^{a-1}}{3}t^{2} em t=0 é -\dfrac{a^{a-1}}{3}\cdot 2t\big|_{t=0}=0; a presença do impulso em t=4 não afeta valores de derivada em t=0. Logo y'(0)=0, consistente com as condições iniciais.
Fica assim a solução obtida por transformadas de Laplace. Força um pouco, mas é direto: transformar, resolver algebricamente no domínio s, depois inverter transformada.

Resposta

y(t)=\frac{1}{3}\delta(t-4)-\frac{a^{a-1}}{3}t^{2}

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