O que a questão pede: encontrar explicitamente a solução y(t) que satisfaça a equação e as condições iniciais, usando transformadas de Laplace. As informações relevantes dadas são: o termo forçante é a soma de um polinômio em t (proporcional a t^{2}) e um impulso de Dirac em t=4; a é um parâmetro constante; as condições iniciais valem em t=0.
Passo 2
Vamos recordar as definições e propriedades da transformada de Laplace que vamos usar (explicadas de forma simples):
Vamos inverter a transformada termo a termo para obter y(t).
O primeiro termo \dfrac{1}{3}e^{-4s} é a transformada de \dfrac{1}{3}\delta(t-4), pois \mathcal{L}\{\delta(t-4)\}=e^{-4s}. Logo a inversa é \dfrac{1}{3}\delta(t-4).
O segundo termo \dfrac{2a^{a-1}}{3}\cdot\dfrac{1}{s^{3}}: sabemos que \mathcal{L}\{t^{2}\}=\dfrac{2}{s^{3}}, então \dfrac{1}{s^{3}} corresponde a \dfrac{t^{2}}{2}. Assim a inversa é
Verificação rápida das condições iniciais (para nos deixar mais confiantes): em t=0 temos \delta(0-4)=0 e t^{2}=0, logo y(0)=0. A derivada de -\dfrac{a^{a-1}}{3}t^{2} em t=0 é -\dfrac{a^{a-1}}{3}\cdot 2t\big|_{t=0}=0; a presença do impulso em t=4 não afeta valores de derivada em t=0. Logo y'(0)=0, consistente com as condições iniciais.
Fica assim a solução obtida por transformadas de Laplace. Força um pouco, mas é direto: transformar, resolver algebricamente no domínio s, depois inverter transformada.