1. A equação H(t)=-3 t^{2}+24 t+5 representa a altura em metros atingida pelo arremesso de uma pedra no instante de tempo t dado em segundos. Determine a altura máxima atingida pela pedra.
    (Resposta: 53 m )

Passo 1

O enunciado dá a função altura da pedra em função do tempo:
H(t) = -3 t^{2} + 24 t + 5,
onde H está em metros e t em segundos. A pergunta é: determinar a altura máxima atingida pela pedra.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
a = -3,\quad b = 24,\quad c = 5,
sendo a, b, c os coeficientes da parábola quadrática H(t)=a t^{2}+b t+c.

Passo 2

Interpretação geométrica e ideia-chave: como a = -3 < 0, a parábola representada por H(t) abre para baixo, ou seja, ela tem um ponto mais alto (vértice) — esse vértice corresponde à altura máxima. Então basta encontrar o vértice da parábola para obter a altura máxima.

Passo 3

Método escolhido e por quê: vou usar completar o quadrado porque é um método algébrico simples, que mostra explicitamente o formato da parábola e dá a altura máxima sem derivadas. É prático de fazer à mão em prova.
Começamos com
H(t) = -3 t^{2} + 24 t + 5.
Fatoramos -3 dos termos quadrático e linear:
H(t) = -3\big(t^{2} - 8 t\big) + 5.

Passo 4

Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. Lembrando: para completar o quadrado de t^{2}-8t escrevemos
t^{2}-8t = \big(t-4\big)^{2} - 4^{2} = \big(t-4\big)^{2} - 16.
Substituindo isso em H(t):
H(t) = -3\big(\,(t-4)^{2} - 16\,\big) + 5.

Passo 5

Desenvolvendo e simplificando:
H(t) = -3(t-4)^{2} + 48 + 5 = -3(t-4)^{2} + 53.
Essa forma deixa claro que o termo -3(t-4)^{2} é sempre \le 0, então o maior valor de H(t) ocorre quando (t-4)^{2}=0, isto é, em t=4 s. O valor máximo de H é então
H_{\max} = 53.

Resposta

53\\ \text{m}

Exercícios relacionados