Nos itens que seguem, resolva a equação diferencial e, se for dada uma condição inicial, encontre também a solução que a satisfaz.
y^prime=e^x+y;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão nos pede para resolver a equação $ y’ = e^{x + y} $. O assunto aqui é Equações Diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis $ x $ e $ y $. A equação dada é:
x
Podemos separar os termos envolvendo $ y $ de um lado e os termos com $ x $ do outro.

Passo 3

Vamos dividir ambos os lados por $ e^{y} $ para isolar $ dy $ de um lado e $ dx $ do outro:
e^y
Agora, temos as variáveis separadas, prontas para serem integradas.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração nos ajuda a encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz a equação diferencial.
Integrando o lado esquerdo:
y(x)
E integrando o lado direito:
integral e^-y , dy = -e^-y + C1
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração.

Passo 5

Agora, vamos igualar as integrais e simplificar as constantes, já que a diferença entre $ C_1 $ e $ C_2 $ continua sendo uma constante arbitrária $ C $:
C1

Passo 6

Vamos resolver para $ e^{-y} $:
e^-y
Podemos reescrever isso como:
e^-y = -e^x - C
Aqui, $ C $ é uma nova constante que absorveu o sinal negativo.

Passo 7

Para isolar $ y $, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
y
Multiplicando ambos os lados por $ -1 $:
- y = ln(C - e^x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = -ln(C - e^x)
Onde $ C $ é uma constante de integração.

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