Nos itens que seguem, resolva a equação diferencial e, se for dada uma condição inicial, encontre também a solução que a satisfaz.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão nos pede para resolver a equação $ y’ = e^{x + y} $. O assunto aqui é Equações Diferenciais de primeira ordem, e vamos precisar usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis $ x $ e $ y $. A equação dada é:
Podemos separar os termos envolvendo $ y $ de um lado e os termos com $ x $ do outro.
Passo 3
Vamos dividir ambos os lados por $ e^{y} $ para isolar $ dy $ de um lado e $ dx $ do outro:
Agora, temos as variáveis separadas, prontas para serem integradas.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração nos ajuda a encontrar a função $ y(x) $ que satisfaz a equação diferencial.
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração.
Passo 5
Agora, vamos igualar as integrais e simplificar as constantes, já que a diferença entre $ C_1 $ e $ C_2 $ continua sendo uma constante arbitrária $ C $:
Passo 6
Vamos resolver para $ e^{-y} $:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, $ C $ é uma nova constante que absorveu o sinal negativo.
Passo 7
Para isolar $ y $, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por $ -1 $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante de integração.