O que significa “invertível” e como vou testar isso (aula rápida e plano):
Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Então basta calcular \det(A) e verificar se \det(A)\neq0.
Calcular determinantes de 4\times4 pode ser feito por expansão, mas é mais prático usar eliminação de Gauss para triangularizar a matriz e então multiplicar os elementos da diagonal (produto das entradas diagonais de uma matriz triangular superior dá o determinante), tomando cuidado com os efeitos das operações elementares sobre o determinante:
trocar duas linhas troca o sinal do determinante (multiplica por -1);
multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k;
adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Plano: aplicar operações do tipo “somar múltiplos de linhas” e, eventualmente, trocas de linhas para obter uma matriz triangular superior, acompanhando o efeito (sinais/constantes) no determinante. Vou fazer as operações explicitamente e no final calcular o produto das diagonais e recuperar \det(A).
Passo 3
Começo exibindo A de novo para fazer as operações:
Repare que a primeira linha tem entrada 0 na coluna 1, mas a segunda linha tem 1 na coluna 1 — é conveniente trocar a linha 1 com a linha 2 para ter pivô 1 na posição (1,1). Trocar linhas muda o sinal do determinante.
Faço a troca R_1 \leftrightarrow R_2. Após a troca:
E a relação entre determinantes é \det(B) = -\det(A) (uma troca de linhas).]
Passo 4
Agora elimino a entrada na coluna 1 da linha 4 usando R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1. Essa operação (adicionar múltiplo de outra linha) não altera o determinante.
e \det\text{(C)}=\det(B)=-\det(A) (sem alteração por esta operação).]
Passo 5
Para trabalhar com a coluna 2, observe que C tem 0 na posição (2,2) mas a linha 3 tem -1 em (3,2). Troco R_2 e R_3 para trazer esse pivô para a linha 2:
Essa troca R_2\leftrightarrow R_3 multiplica o determinante por -1, então \det(D) = -\det\text{(C)} = -(-\det(A)) = \det(A).
(Observação útil: fizemos duas trocas de linhas no total até aqui, então o sinal voltou ao original.)]
Passo 6
Agora uso o pivô -1 em (2,2) para zerar a entrada (4,2). Faço R_4 \leftarrow R_4 + R_2 (porque 1 + (-1) = 0). Essa operação não altera o determinante.
Agora uso o pivô 2 em (3,3) para zerar a entrada (4,3)=8. Faço R_4 \leftarrow R_4 - 4R_3 (porque 8-4\cdot2=0). Esta operação também não altera o determinante.
Agora que F é triangular superior (zeros abaixo da diagonal), o determinante é o produto das entradas diagonais:
\det(F)=1\cdot(-1)\cdot 2\cdot(-5).
Calculo: (-1)\cdot(-5)=5, então 1\cdot 2\cdot 5=10. Assim
\det(F)=10.
Como acompanhamos todas as alterações e \det(F)=\det(A), concluímos \det(A)=10.
Passo 9
Conclusão prática e interpretação: \det(A)=10\neq0. Pelo critério de invertibilidade isso significa que A é invertível. (Comentário final: uma matriz com determinante não nulo também tem posto \operatorname{rank}=4 no caso 4\times4.)