Verifique se as seguintes matrizes são invertíveis.
\left[\begin{array}{rrrr}0 & 0 & 2 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & 3 & 0 \\\\ 2 & 1 & 5 & -3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: verificar se a matriz abaixo é invertível.
A matriz fornecida é uma matriz 4\times4 com entradas (vou listar linha a linha):
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 3 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 5 & -3 \end{pmatrix}.
Pergunta explícita: a matriz A é invertível?]

Passo 2

O que significa “invertível” e como vou testar isso (aula rápida e plano):
  • Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Então basta calcular \det(A) e verificar se \det(A)\neq0.
  • Calcular determinantes de 4\times4 pode ser feito por expansão, mas é mais prático usar eliminação de Gauss para triangularizar a matriz e então multiplicar os elementos da diagonal (produto das entradas diagonais de uma matriz triangular superior dá o determinante), tomando cuidado com os efeitos das operações elementares sobre o determinante:
    • trocar duas linhas troca o sinal do determinante (multiplica por -1);
    • multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k;
    • adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
  • Plano: aplicar operações do tipo “somar múltiplos de linhas” e, eventualmente, trocas de linhas para obter uma matriz triangular superior, acompanhando o efeito (sinais/constantes) no determinante. Vou fazer as operações explicitamente e no final calcular o produto das diagonais e recuperar \det(A).

Passo 3

Começo exibindo A de novo para fazer as operações:
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 3 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 5 & -3 \end{pmatrix}.
Repare que a primeira linha tem entrada 0 na coluna 1, mas a segunda linha tem 1 na coluna 1 — é conveniente trocar a linha 1 com a linha 2 para ter pivô 1 na posição (1,1). Trocar linhas muda o sinal do determinante.
Faço a troca R_1 \leftrightarrow R_2. Após a troca:
B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 3 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 5 & -3 \end{pmatrix}.
E a relação entre determinantes é \det(B) = -\det(A) (uma troca de linhas).]

Passo 4

Agora elimino a entrada na coluna 1 da linha 4 usando R_4 \leftarrow R_4 - 2R_1. Essa operação (adicionar múltiplo de outra linha) não altera o determinante.
Cálculo da nova linha 4:
R_4 - 2R_1 = (2,1,5,-3) - 2(1,0,0,1) = (0,1,5,-5).
A matriz fica
C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 5 & -5 \end{pmatrix},
e \det\text{(C)}=\det(B)=-\det(A) (sem alteração por esta operação).]

Passo 5

Para trabalhar com a coluna 2, observe que C tem 0 na posição (2,2) mas a linha 3 tem -1 em (3,2). Troco R_2 e R_3 para trazer esse pivô para a linha 2:
D=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 5 & -5 \end{pmatrix}.
Essa troca R_2\leftrightarrow R_3 multiplica o determinante por -1, então
\det(D) = -\det\text{(C)} = -(-\det(A)) = \det(A).
(Observação útil: fizemos duas trocas de linhas no total até aqui, então o sinal voltou ao original.)]

Passo 6

Agora uso o pivô -1 em (2,2) para zerar a entrada (4,2). Faço R_4 \leftarrow R_4 + R_2 (porque 1 + (-1) = 0). Essa operação não altera o determinante.
Cálculo:
R_4 + R_2 = (0,1,5,-5) + (0,-1,3,0) = (0,0,8,-5).
A matriz fica
E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 8 & -5 \end{pmatrix},
com \det(E)=\det(D)=\det(A).]

Passo 7

Agora uso o pivô 2 em (3,3) para zerar a entrada (4,3)=8. Faço R_4 \leftarrow R_4 - 4R_3 (porque 8-4\cdot2=0). Esta operação também não altera o determinante.
Cálculo:
R_4 - 4R_3 = (0,0,8,-5) - 4(0,0,2,0) = (0,0,0,-5).
A matriz triangular resultante é
F=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -5 \end{pmatrix},
e \det(F)=\det(E)=\det(A).]

Passo 8

Agora que F é triangular superior (zeros abaixo da diagonal), o determinante é o produto das entradas diagonais:
\det(F)=1\cdot(-1)\cdot 2\cdot(-5).
Calculo: (-1)\cdot(-5)=5, então 1\cdot 2\cdot 5=10. Assim
\det(F)=10.
Como acompanhamos todas as alterações e \det(F)=\det(A), concluímos \det(A)=10.

Passo 9

Conclusão prática e interpretação: \det(A)=10\neq0. Pelo critério de invertibilidade isso significa que A é invertível. (Comentário final: uma matriz com determinante não nulo também tem posto \operatorname{rank}=4 no caso 4\times4.)

Resposta

Sim. \det(A)=10

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