Encontre a equação característica, os autovalores e a base do autoespaço (autovetores) das seguintes matrizes:
(i)
[rrr-2 & 0 & 1 -6 & -2 & 0 19 & 5 & -4]

Passo 1

O problema pede a equação característica, os autovalores e uma base para cada autoespaço da matriz
A = -2 & 0 & 1 -6 & -2 & 0 19 & 5 & -4
O conteúdo envolve cálculo de determinante de A - lambda I, fatoração do polinômio característico e solução de sistemas lineares (A - lambda I)v=0 para cada valor de lambda.

Passo 2

Formamos A - lambda I e calculamos seu determinante:
det(A - lambda I) = -2-lambda & 0 & 1 -6 & -2-lambda & 0 19 & 5 & -4-lambda
Usando expansão pela primeira linha:
det(A - lambda I) =(-2-lambda)l[(!-!2-lambda)(!-!4-lambda)-0cdot5r] +1cdotl[-6cdot5 -(!-!2-lambda)cdot19r]
Calculando os menores:
(!-!2-lambda)(!-!4-lambda) = lambda^2 +6lambda +8, -6cdot5 -(!-!2-lambda),19 = 8 +19lambda
Logo
det(A - lambda I) =-(lambda+2)(lambda^2+6lambda+8);+;(8+19lambda) =-(lambda^3+8lambda^2+lambda+8)
Portanto, a equação característica fica
lambda^3 +8lambda^2 +lambda +8 = 0

Passo 3

Fatoramos o polinômio lambda^3+8lambda^2+lambda+8 por agrupamento:
lambda^3+8lambda^2+lambda+8 =(lambda^2+1)(lambda+8)
Assim, os autovalores são
lambda1 = -8, lambda2 = i, lambda3 = -,i

Passo 4

Para
Da primeira vem . A terceira é então redundante. Assim, um gerador do autoespaço é

Passo 5

Para
Da primeira obtém-se para evitar frações, um vetor próprio correspondente é

Passo 6

Para lambda3 = -,i, o autoespaço é o conjugado do caso anterior. Tomando x=5 de novo,
v3 = l(5,,-12-6i,;10-5ir)

Resposta

Equação característica:
lambda^3 +8lambda^2 +lambda +8 = 0 ;Long<=ftrightarrow; (lambda+8)(lambda^2+1)=0
Autovalores:
lambda1 = -8, lambda2 = i, lambda3 = -,i
Base de cada autoespaço:
para lambda1=-8:;(1,1,-6), para lambda2=i:;(5,-12+6i,10+5i), para lambda3=-i:;(5,-12-6i,10-5i)

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