Encontre uma matriz que diagonaliza ortogonalmente e determine .
(b)
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar ortogonalmente a matriz
A = -2 & 0 & -36 0 & -3 & 0 -36 & 0 & -23
ou seja, encontrar uma matriz ortogonal P tal que
P^-1AP = P^TAP = D
seja diagonal. Para isso vamos usar que toda matriz real simétrica é diagonalizável por uma base ortonormal de autovetores: primeiro achamos os autovalores resolvendo det(A-lambda I)=0, depois os autovetores, e por fim normalizamos para formar P.
Passo 2
Como A é simétrica e tem bloco desacoplado na segunda coordenada, temos de imediato um autovalor lambda3=-3 com autovetor (0,1,0). Para os autovalores restantes consideramos o bloco