Encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P^-1 A P.
(b)
A=[rrr-2 & 0 & -36 0 & -3 & 0 -36 & 0 & -23]

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar ortogonalmente a matriz
A = -2 & 0 & -36 0 & -3 & 0 -36 & 0 & -23
ou seja, encontrar uma matriz ortogonal P tal que
P^-1AP = P^TAP = D
seja diagonal. Para isso vamos usar que toda matriz real simétrica é diagonalizável por uma base ortonormal de autovetores: primeiro achamos os autovalores resolvendo det(A-lambda I)=0, depois os autovetores, e por fim normalizamos para formar P.

Passo 2

Como A é simétrica e tem bloco desacoplado na segunda coordenada, temos de imediato um autovalor lambda3=-3 com autovetor (0,1,0). Para os autovalores restantes consideramos o bloco
M = -2&-36-36&-23,
cujo polinômio característico é
detl(M-lambda Ir) =(-2-lambda)(-23-lambda)-(-36)^2 =lambda^2+25lambda-1250
Resolvendo lambda^2+25lambda-1250=0 obtemos
lambda1 = -25+752=25, lambda2 = -25-752=-50

Passo 3

Agora achamos autovetores de correspondentes a cada .
Para resolvemos
um vetor solução é , logo
Para resolvemos
um vetor solução é , logo
Para tomamos diretamente
que já tem norma .
Os vetores são ortonormais.

Passo 4

Montamos a matriz ortogonal P cujas colunas são u1,u2,u3:
P = 45 & 35 & 0[6pt] 0 & 0 & 1[6pt] -35 & 45 & 0
Como P é ortogonal, P^-1=P^T e
P^-1 A P = P^T A P = 25 & 0 & 0 0 & -50 & 0 0 & 0 & -3 ]

Resposta

P pode ser escolhida como
P = 45 & 35 & 0 0 & 0 & 1 -35 & 45 & 0 ,
e
P^-1AP = 25 & 0 & 0 0 & -50 & 0 0 & 0 & -3

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