Teste a convergência ou divergência das séries.

k=2
(−1)^{n+1}
n lnn

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série cuja soma é, a partir de n=2,
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n\ln n}.
Informações dadas e coisas claras no enunciado:
  • O termo geral da série é \displaystyle \frac{(-1)^{n+1}}{n\ln n}.
  • O índice de soma começa em n=2 (isso evita \ln 1=0).
  • A pergunta é: a série converge ou diverge? E, implicitamente, se converge, é absolutamente convergente ou apenas condicionalmente convergente?

Passo 2

Identificar a natureza dos termos e qual teste é apropriado.
  • Note que a série é alternante porque os sinais são dados por (-1)^{n+1}; portanto os termos mudam de sinal a cada n.
  • Para séries alternantes costuma-se usar o teste de Leibniz (Teste da Série Alternante): ele diz que a série \sum (-1)^{n} b_n converge se (b_n) é uma sequência positiva, monótona decrescente e \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
  • Aqui podemos tomar b_n=\dfrac{1}{n\ln n}, que é positivo para n\ge2. Vou checar as condições de monotonia e limite para aplicar o teste de Leibniz.

Passo 3

Mostrar que b_n=\dfrac{1}{n\ln n} tende a zero quando n\to\infty.
  • Intuição: n\ln n\to\infty quando n\to\infty, logo 1/(n\ln n)\to 0.
  • Formalmente:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\ln n}=0,
porque o denominador cresce sem limite (produto de n com \ln n). Isso satisfaz a condição \lim b_n=0 do teste de Leibniz.

Passo 4

Mostrar que b_n=\dfrac{1}{n\ln n} é monótona decrescente para n\ge2.
  • Uma maneira prática: considerar a função contínua correspondente
f(x)=\frac{1}{x\ln x},\qquad x\ge 2,
e verificar f'(x)<0 para x\ge2.
  • Calculemos f'(x). Usando derivada de f(x)=(x\ln x)^{-1}:
f'(x) = -\frac{1}{(x\ln x)^2}\cdot(\ln x + 1).
  • Para x\ge 2 temos \ln x>0, logo \ln x+1>0. Assim f'(x)<0 para todo x\ge2.
  • Conclusão: f é decrescente em [2,\infty), então a sequência b_n=f(n)=1/(n\ln n) é decrescente para n\ge2. Portanto a condição de monotonia do teste de Leibniz está satisfeita.

Passo 5

Aplicar o teste de Leibniz (Alternating Series Test).
  • Relembrando o teste: se b_n\ge0, b_{n+1}\le b_n (sequência decrescente) e \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então a série alternante \sum (-1)^{n} b_n converge.
  • Nós verificamos em Passo 3 e Passo 4 que b_n=\dfrac{1}{n\ln n} é positiva, decrescente e tende a zero.
  • Portanto a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n\ln n}
converge.

Passo 6

Agora verificar se a convergência é absoluta ou apenas condicional: estudar a série dos valores absolutos
\sum_{n=2}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n\ln n}\right| = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}.
  • Se essa série dos positivos converge, então a série original é absolutamente convergente; se diverge, mas a original converge, então temos convergência condicional.

Passo 7

Aplicar o Teste da Integral para \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n\ln n}.
  • Condições do Teste da Integral: se f(x) é contínua, positiva e decrescente para x\ge 2, então a série \sum_{n=2}^{\infty} f(n) converge ou diverge junto com a integral imprópria \int_{2}^{\infty} f(x)\,dx.
  • Aqui f(x)=1/(x\ln x) é exatamente a mesma função que usamos antes; é positiva, contínua e decrescente em [2,\infty), então podemos usar o teste.
  • Calculemos a integral:
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x\ln x}\,dx.
  • Fazer a substituição u=\ln x. Então du=\dfrac{1}{x}\,dx. A integral vira
\int_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{u}\,du.
  • Essa integral é
\int_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{u}\,du = \lim_{R\to\infty} \big[\ln|u|\big]_{u=\ln 2}^{u=\ln R} = \lim_{R\to\infty} \ln(\ln R) - \ln(\ln 2).
  • Como \ln R\to\infty quando R\to\infty, segue que \ln(\ln R)\to\infty. Portanto a integral diverge (tende a +\infty).

Passo 8

Concluir sobre a série dos valores absolutos e a natureza da convergência.
  • Pelo Teste da Integral a série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{n\ln n} diverge.
  • Logo a série original não é absolutamente convergente.
  • Já mostramos (Passo 5) que a série original converge. Combinando: a série converge, mas não converge absolutamente — isto é, ela converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge, mas não é absolutamente convergente).

Exercícios relacionados