Determine as seguintes potências de z= -2-2 raiz3 i :
z^3

Passo 1

A questão pede para calcular a potência z^3 de z = -2 - 2raiz3,i. O conteúdo envolvido é representação trigonométrica de números complexos e o Teorema de De Moivre, que diz que para z = r,l(costheta + isinthetar) temos z^n = r^nl(cos(ntheta)+isin(ntheta)r). Vamos usar módulo, argumento e depois De Moivre.

Passo 2

Primeiro encontramos o módulo r = |z| e o argumento theta de z. O módulo é
r = raiz(-2)^2 + (-2raiz3)^2 = raiz4 + 12 = 4

Passo 3

Para o argumento, observamos que Re(z) = -2 e Im(z) = -2raiz3, ambos negativos, logo o ângulo está no terceiro quadrante:
theta = pi + arctanl(-2raiz3-2r) = pi + pi3 = 4pi3

Passo 4

Assim z em forma trigonométrica fica
z = 4l(cos4pi3 + isin4pi3r)

Passo 5

Aplicando o Teorema de De Moivre para z^3:
z^3 = 4^3 l(cos(3cdottfrac4pi3) + isin(3cdottfrac4pi3)r) = 64l(cos(4pi) + isin(4pi)r)

Passo 6

Como cos(4pi)=1 e sin(4pi)=0, concluímos que
z^3 = 64cdot(1 + icdot0) = 64

Resposta

64

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