Nos exercícios 1 a 9, usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
integral duplaS d y d z+d z d x+d x d y, onde S é a superfície exterior do cone z=raizx^2+y^2 delimitado pelos pla nos z=1 e z=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície . A superfície é a parte externa do cone , limitada pelos planos e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo a esse tipo de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele relaciona uma integral de superfície de um rotacional de um campo vetorial integral duplaS (nabla times F) cdot dS = ointpartial S F cdot dr com uma integral de linha do próprio campo vetorial ao longo da borda da superfície. Matematicamente, é escrito como:
No nosso caso, a integral de superfície que precisamos calcular já está dada, então vamos identificar o campo vetorial que corresponde a esse integrando.

Passo 3

Observando a integral integral duplaS (dy,dz + dz,dx + dx,dy) = integral duplaS (F cdot dS) , podemos notar que ela corresponde a:
F = (y, z, x)
Aqui, o campo vetorial é dado por:
Porque, quando fazemos o produto vetorial com , obtemos exatamente .

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Stokes, temos que:
integral duplaS (nabla times F) cdot dS = ointpartial S F cdot dr
Vamos calcular o rotacional de nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z y & z & x = (partial xpartial y - partial zpartial z)i - (partial xpartial x - partial ypartial z)j + (partial zpartial x - partial ypartial y)k = (0 - 1)i - (1 - 0)j + (0 - 1)k = -i - j - k :
Então, .

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral de linha r1(theta) = (costheta, sintheta, 1), theta in [0, 2pi] . A borda r2(theta) = (4costheta, 4sintheta, 4), theta in [0, 2pi] da superfície consiste nas duas circunferências onde o cone é cortado pelos planos e .
Vamos parametrizar essas duas circunferências:
  1. Para , o raio do cone é , então a parametrização é:
  1. Para , o raio do cone é , então a parametrização é:

Passo 6

Vamos calcular a integral de linha para cada uma dessas curvas.
Para dr1 = (-sintheta, costheta, 0) dtheta :
F(r1) = (y, z, x) = (sintheta, 1, costheta)
F cdot dr1 = sintheta (-sintheta) + 1 (costheta) + costheta (0) = -sin^2theta + costheta
ointpartial S1 F cdot dr1 = integral0^2pi (-sin^2theta + costheta) dtheta = -pi + 0 = -pi
Integrando de dr2 = (-4sintheta, 4costheta, 0) dtheta a F(r2) = (y, z, x) = (4sintheta, 4, 4costheta) :
F cdot dr2 = 4sintheta (-4sintheta) + 4 (4costheta) + 4costheta (0) = -16sin^2theta + 16costheta
Para ointpartial S2 F cdot dr2 = integral0^2pi (-16sin^2theta + 16costheta) dtheta = -16pi + 0 = -16pi :
Integrando de a :

Passo 7

Somando as integrais das duas circunferências:
ointpartial S F cdot dr = ointpartial S1 F cdot dr1 + ointpartial S2 F cdot dr2 = -pi -16pi = -17pi

Resposta

A integral de superfície vale .

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