Nos exercícios 1 a 9, usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada: , onde é a superfície exterior do cone delimitado pelos pla e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície . A superfície é a parte externa do cone , limitada pelos planos e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo a esse tipo de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele relaciona uma integral de superfície de um rotacional de um campo vetorial com uma integral de linha do próprio campo vetorial ao longo da borda da superfície. Matematicamente, é escrito como:
No nosso caso, a integral de superfície que precisamos calcular já está dada, então vamos identificar o campo vetorial que corresponde a esse integrando.
Passo 3
Observando a integral , podemos notar que ela corresponde a:
Aqui, o campo vetorial é dado por:
Porque, quando fazemos o produto vetorial com , obtemos exatamente .
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema de Stokes, temos que:
Vamos calcular o rotacional de :
Então, .
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral de linha r1(theta) = (costheta, sintheta, 1), theta in [0, 2pi] . A borda r2(theta) = (4costheta, 4sintheta, 4), theta in [0, 2pi] da superfície consiste nas duas circunferências onde o cone é cortado pelos planos e .
Vamos parametrizar essas duas circunferências:
Para , o raio do cone é , então a parametrização é:
Para , o raio do cone é , então a parametrização é:
Passo 6
Vamos calcular a integral de linha para cada uma dessas curvas.