Encontre a série de Fourier da função
, de período
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Queremos expandir a função
em série de Fourier de período
(ou seja,
). Vamos usar a forma trigonométrica
e calcular
Passo 2
Usamos a definição do termo constante:
Passo 3
Para os coeficientes
:
Como
Passo 4
Para
notamos que
e
são ímpares, logo o produto é par. Assim
Passo 5
Vamos calcular
por partes três vezes. Depois de aplicar as partes e simplificar obtemos
$$I=(-1)n\Bigl(-\frac{1}{n\pi}+\frac{6}{n3\pi^3}\Bigr).
$$
Passo 6
Logo,
$$\int_{-1}{1}x3\sin(n\pi x),dx=2I=2(-1)n\Bigl(-\frac{1}{n\pi}+\frac{6}{n3\pi^3}\Bigr)
$$
Passo 7
Como
e
, a série de Fourier fica apenas com senos: