Encontre a série de Fourier da função f(x), de período p=2 L.
f(x)=pi x^3 / 2 (-1

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos expandir a função f(x)=tfracpi x^32 em série de Fourier de período p=2 (ou seja, L=1). Vamos usar a forma trigonométrica
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(npi x)+bnsin(npi x)r)
e calcular a0, an e bn.

Passo 2

Usamos a definição do termo constante:
a0=1Lintegral-L^Lf(x),dx=integral-1^1pi x^32dx=pi2l[x^44r]-1^1=0

Passo 3

Para os coeficientes an:
an=1Lintegral-1^1f(x)cos(npi x),dx=pi2integral-1^1x^3cos(npi x),dx
Como x^3 é ímpar e cos(npi x) é par, o produto é função ímpar, portanto a integral simétrica dá zero. Logo, an=0.

Passo 4

Para bn notamos que x^3 e sin(npi x) são ímpares, logo o produto é par. Assim
bn=1Lintegral-1^1f(x)sin(npi x),dx=pi2integral-1^1x^3sin(npi x),dx=piintegral0^1x^3sin(npi x),dx

Passo 5

Vamos calcular I=integral0^1x^3sin(npi x),dx por partes três vezes. Depois de aplicar as partes e simplificar obtemos
$$I=(-1)n\Bigl(-\frac{1}{n\pi}+\frac{6}{n3\pi^3}\Bigr).
$$

Passo 6

Logo,
$$\int_{-1}{1}x3\sin(n\pi x),dx=2I=2(-1)n\Bigl(-\frac{1}{n\pi}+\frac{6}{n3\pi^3}\Bigr)
integral-1^1x^3sin(npi x),dx=2I=2(-1)^nl(-1npi+6n^3pi^3r) b_n=\frac{\pi}{2}\cdot2(-1)n\Bigl(-\frac{1}{n\pi}+\frac{6}{n3\pi3}\Bigr)=(-1)n\Bigl(-\frac{1}{n}+\frac{6}{n3\pi2}\Bigr)=(-1){n+1}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{6}{n3\pi^2}\Bigr).
$$

Passo 7

Como a0=0 e an=0, a série de Fourier fica apenas com senos:

Passo 8

f(x)=sumn=1^inftybnsin(npi x)=sumn=1^infty(-1)^n+1l(1n-6n^3pi^2r)sin(npi x)

Resposta

f(x)=sumn=1^infty(-1)^n+1l(1n-6n^3pi^2r)sin(npi x)

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