Determine as seguintes potências de z= -2-2 raiz3 i :
z^5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a quinta potência de um número complexo z=-2-2raiz3,i. Vamos usar o conteúdo de forma polar e o Teorema de De Moivre para resolver.

Passo 2

Primeiro, calculamos o módulo e o argumento de z. O módulo é dado por
|z|=raiz(-2)^2+(-2raiz3)^2=raiz4+12=4
O argumento é o ângulo cujo seno e cosseno geram as coordenadas (-2,-2raiz3). Como tan(theta)=-2raiz3-2=raiz3 e z está no terceiro quadrante, temos
theta=pi+pi3=4pi3

Passo 3

Com isso, escrevemos z em forma polar:
z=4l(cos(4pi/3)+isin(4pi/3)r)=4e^i4pi/3

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de De Moivre, que diz que para z=re^itheta vale
z^n=r^n e^i ntheta
No nosso caso, n=5, logo
z^5=4^5 e^i,5cdot(4pi/3)=1024e^i20pi/3

Passo 5

Precisamos reduzir o ângulo 20pi/3 módulo 2pi. Note que
20pi/3=6pi+2pi/3=2picdot3+2pi3equiv2pi3pmod2pi
Assim,
z^5=1024e^i2pi/3=1024l(cos(2pi/3)+isin(2pi/3)r)=1024l(-12+iraiz32r)
Fazendo a multiplicação, obtemos z^5=-512+512raiz3,i.

Passo 6

Não há mais simplificações; esse é o resultado final.

Resposta

-512+512\sqrt{3},i

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