Determine as seguintes potências de
:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a quinta potência de um número complexo
. Vamos usar o conteúdo de forma polar e o Teorema de De Moivre para resolver.
Passo 2
Primeiro, calculamos o módulo e o argumento de
. O módulo é dado por
O argumento é o ângulo cujo seno e cosseno geram as coordenadas
. Como
e
está no terceiro quadrante, temos
Passo 3
Com isso, escrevemos
em forma polar:
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema de De Moivre, que diz que para
vale
No nosso caso,
, logo
Passo 5
Precisamos reduzir o ângulo
módulo
. Note que
Assim,
Fazendo a multiplicação, obtemos
.
Passo 6
Não há mais simplificações; esse é o resultado final.
Resposta
-512+512\sqrt{3},i