Determine as seguintes potências de z= -2-2 raiz3 i :
z^6

Passo 1

O enunciado pede para calcular z^6 onde z = -2 - 2raiz3,i. O conteúdo é representação de número complexo em forma polar e uso do Teorema de De Moivre para elevar à potência.

Passo 2

Primeiro, calculamos o módulo de z. Pela definição:
|z| = raiz(-2)^2 + (-2raiz3)^2 = raiz4 + 12 = 4

Passo 3

Depois, encontramos o argumento de z. Fazemos theta = arg(z) = arctanl(Im(z)Re(z)r). Aqui temos
Im(z)Re(z) = -2raiz3-2 = raiz3
e como z está no terceiro quadrante (ambas partes reais e imaginárias negativas),
theta = pi + pi3 = 4pi3

Passo 4

Então escrevemos z em forma polar:
z = 4l(costfrac4pi3 + isintfrac4pi3r)

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema de De Moivre, que diz z^n = r^n[cos(ntheta)+isin(ntheta)]. Assim,
z^6 = 4^6 l[cosl(6cdottfrac4pi3r) + isinl(6cdottfrac4pi3r)r]

Passo 6

Calculamos o ângulo:
6cdot4pi3 = 8pi, e sabemos que cos 8pi = 1 e sin 8pi = 0. Logo,
z^6 = 4^6 l(1 + icdot 0r) = 4096

Resposta

4096

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