Determine as seguintes potências de z= -2-2 raiz3 i :
z^4

Passo 1

O enunciado pede para calcular z^4 para z = -2 - 2raiz3,i. O conteúdo aqui é potência de números complexos e vamos precisar usar a forma polar de z e a fórmula de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, calculamos o módulo |z| e o argumento arg z. O módulo é
|z| = raiz(-2)^2 + (-2raiz3)^2 = raiz4 + 12 = 4

Passo 3

Como x = -2 e y = -2raiz3 estão ambos no terceiro quadrante, o argumento é
arg z = arctanl(-2raiz3-2r) = arctan(raiz3) = pi3,mas situado no terceiro quadrante fica theta = -tfrac2pi3 (ou equivalentemente 4pi/3).

Passo 4

Agora escrevemos z em forma polar:
z = 4l(cos(-tfrac2pi3) + isin(-tfrac2pi3)r)

Passo 5

Aplicamos a fórmula de De Moivre para elevar à quarta potência:
z^4 = 4^4l(cos(-tfrac8pi3) + isin(-tfrac8pi3)r) = 256l(cos(-tfrac8pi3) + isin(-tfrac8pi3)r)

Passo 6

O ângulo -tfrac8pi3 é coterminal com 4pi/3, pois -tfrac8pi3 + 2picdot 2 = tfrac4pi3. Assim,
z^4 = 256l(costfrac4pi3 + isintfrac4pi3r) = 256l(-tfrac12 - itfracraiz32r)

Passo 7

Por fim, simplificamos a multiplicação:
z^4 = -128 - 128raiz3,i

Resposta

-128 - 128raiz3,i

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